Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace
1. Produit scalaire
Deux vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires (voir chapitre précédent). On peut alors définir le produit scalaire dans l'espace à l'aide de la définition donnée en Première pour deux vecteurs d'un plan.
La plupart des propriétés vues en Première seront donc encore valables pour le produit scalaire dans l'espace, en particulier pour tous vecteurs u⃗ et v⃗ :
u⃗.v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣×cos(u⃗,v⃗)
u⃗.v⃗=21(∣∣u⃗+v⃗∣∣2−∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2)
u⃗2=∣∣u⃗∣∣2
La notion d'orthogonalité de vecteurs vue en Première est encore valable dans l'espace. Pour tous vecteurs u⃗ et v⃗ : u⃗ et v⃗ sont orthogonaux ⇔u⃗.v⃗=0.
Les principales distinctions concernent les formules faisant intervenir les coordonnées puisque, dans l'espace, chaque vecteur possède trois coordonnées.
Propriété
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)
Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs de coordonnées respectives (x;y;z) et (x′;y′;z′) dans ce repère. Alors:
u⃗.v⃗=xx′+yy′+zz′
Conséquences
∣∣u⃗∣∣=√x2+y2+z2
AB=∣∣AB∣∣=√(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
2. Orthogonalité dans l'espace
Définition
Deux droites d1 et d2 sont orthogonales si et seulement si il existe une droite qui est à la fois parallèle à d1 et perpendiculaire à d2
d1 et d2 sont orthogonales
Remarque
Attention à ne pas confondre orthogonales et perpendiculaires. Le terme perpendiculaires s'emploie uniquement pour des droites sécantes (donc coplanaires).
Propriétés
Soient deux droites d1 et d2, u1 un vecteur directeur de d1 et u2 un vecteur directeur de d2.
d1 et d2 sont orthogonales si et seulement si les vecteurs u1 et u2 sont orthogonaux, c'est à dire si et seulement si u1.u2=0
Définition (Droite perpendiculaire à un plan)
Une droite d est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan.
Droite perpendiculaire à un plan
Remarque
Une droite orthogonale à un plan coupe nécessairement ce plan en un point. Il n'y a donc plus lieu ici de distinguer orthogonalité et perpendicularité.
Propriété
La droite d est perpendiculaire au plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes incluses dans ce plan.
Définition (Plans perpendiculaires)
Deux plans P1 et P1 sont perpendiculaires (ou orthogonaux) si et seulement si P1 contient une droite d perpendiculaire à P2.
Remarque
Attention, cela ne signifie pas que toutes les droites de P1 sont orthogonales à toutes les droites de P2
Définition (Vecteur normal à un plan)
On dit qu'un vecteur n⃗ non nul est un vecteur normal au plan P si et seulement si la droite dirigée par n⃗ est perpendiculaire au plan P.
Théorème
Soit P un plan de vecteur normal n⃗ et soit A un point de P.
M∈P⇔AM.n⃗=0.
Théorème
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)
Le plan P de vecteur normal n⃗(a;b;c) admet une équation cartésienne de la forme :
ax+by+cz+d=0
où a, b, c sont les coordonnées de n⃗ et d un nombre réel.
Réciproquement, l'ensemble des points M(x;y;z) tels que ax+by+cz+d=0 (a,b,c,d étant des réels avec a≠0 ou b≠0 ou c≠0) est un plan dont un vecteur normal est n⃗(a;b;c).
Démonstration
Soit A(xA;yA;zA) un point de P :
M∈P⇔AM.n⃗=0
M∈P⇔a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0
M∈P⇔ax+by+cz−axA−byA−czA=0
et il suffit de poser d=−axA−byA−czA.
Réciproquement, supposons par exemple a≠0.
Soit A le point de coordonnées (−ad;0;0) Les coordonnées de A vérifient :
axA+byA+czA+d=0.
On a alors d=−axA−byA−czA donc :
ax+by+cz+d=0⇔a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0⇔AM.n⃗=0
donc M(x;y;z) appartient au plan passant par A et dont un vecteur normal est n⃗(a;b;c)
Exemple
On cherche une équation cartésienne du plan passant par A(1;3;−2) et de vecteur normal n⃗(1;1;1).
Ce plan admet une équation cartésienne de la forme :
(E)x+y+z+d=0
Le point A(1;3;−2) appartient à ce plan, donc les coordonnées de A vérifient l'équation (E) :
1+3−2+d=0 soit d=−2
Une équation cartésienne du plan est donc :
(E)x+y+z−2=0
Propriétés
Une droite d est parallèle à un plan P si et seulement si un vecteur directeur de d est orthogonal à un vecteur normal de P.
Une droite d est perpendiculaire à un plan P si et seulement si un vecteur directeur de d est colinéaire à un vecteur normal de P.
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
