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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités conditionnelles

I - Conditionnement

Définition

AA et BB étant deux événements tels que p(A)0p\left(A\right)\neq 0, la probabilité de BB sachant AA est le nombre réel :

pA(B)=p(AB)p(A)p_{A}\left(B\right)=\frac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}

Remarques

  • On note parfois p(B/A)p\left(B/A\right) au lieu de pA(B)p_{A}\left(B\right).

  • Rappel : Le signe \cap (intersection) correspond à "et".

  • De même si p(B)0p\left(B\right)\neq 0, la probabilité de AA sachant BB est pB(A)=p(AB)p(B)p_{B}\left(A\right)=\frac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(B\right)}.

Exemple

Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On tire successivement 2 boules sans remise On note :

  • B1B_{1} l'événement "la première boule tirée est blanche"

  • B2B_{2} l'événement "la seconde boule tirée est blanche"

la probabilité pB1(B2)p_{B_{1}}\left(B_{2}\right) est la probabilité que la seconde boule soit blanche sachant que la première était blanche. Pour la calculer, on se place dans la situation où l'on se trouve après avoir obtenu une boule blanche au premier tirage. Il reste alors 6 boules dans l'urne; 2 sont blanches et 4 sont rouges.

La probabilité de tirer une boule blanche au second tirage est donc :

pB1(B2)=26=13p_{B_{1}}\left(B_{2}\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

Cette probabilité se place sur l'arbre de la façon suivante :

arbre pondéré

On peut calculer de même pB1(B2)p_{\overline{B_{1}}}\left(B_{2}\right) est la probabilité que la seconde boule soit blanche sachant que la première était rouge. Il reste alors 3 boules blanches et 3 boules rouges après le premier tirage donc :

pB1(B2)=36=12p_{\overline{B_{1}}}\left(B_{2}\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

et on peut compléter l'arbre :

arbre pondéré

Propriété

De la définition précédente, on déduit immédiatement que :

p(AB)=p(A)×pA(B)p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)

Remarque

Attention à ne pas confondre :

  • p(AB)p\left(A \cap B\right) qui est la probabilité que AA et BB soient réalisés alors qu'on ne possède aucune indication sur la réalisation de AA ou de BB

  • pA(B)p_{A}\left(B\right) qui est la probabilité que BB soit réalisé alors qu'on sait déjà que AA est réalisé.

Exemple

Si l'on reprend l'exemple précédent, la probabilité de tirer 2 boules blanches est p(B1B2)p\left(B_{1} \cap B_{2}\right) (il faut que la première boule soit blanche et que la seconde boule soit blanche).

D'après la formule précédente :

p(B1B2)=p(B1)×pB1(B2)=37×13=17p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)=p\left(B_{1}\right)\times p_{B_{1}}\left(B_{2}\right)=\frac{3}{7}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{7}

II - Formule des probabilités totales

Définition

On dit que les événements A1,A2,...,AnA_{1}, A_{2}, . . . , A_{n} forment une partition de l'univers Ω\Omega si chaque élément de Ω\Omega appartient à un et un seul des AiA_{i}

Exemple

On lance un dé à 6 faces. On peut modéliser cette expérience par l'univers Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega = \left\{1; 2; 3; 4; 5; 6\right\}.

Les événements :

  • A1={1;2}A_{1}=\left\{1; 2\right\} (le résultat est inférieur à 3)

  • A2={3}A_{2}=\left\{3\right\} (le résultat est égal à 3)

  • A3={4;5;6}A_{3}=\left\{4; 5; 6\right\} (le résultat est supérieur à 3)

forment une partition de Ω\Omega . En effet, chacune des six éventualités 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6 appartient à et à un seul des AiA_{i}.

Remarque

AA et A\overline{A} forment une partition de l'univers, quel que soit l'événement AA. En effet, toute éventualité appartient soit à un événement, soit à son contraire et ne peut appartenir au deux en même temps.

Théorème (Formule des probabilités totales)

Soit A1,A2,...,AnA_{1}, A_{2}, . . . , A_{n} une partition de l'univers Ω\Omega . Pour tout événement BB :

p(B)=p(A1B)+p(A2B)+...+p(AnB)p\left(B\right)=p\left(A_{1} \cap B\right) + p\left(A_{2} \cap B\right) + . . . + p\left(A_{n} \cap B\right)

p(B)=p(A1)×pA1(B)+p(A2)×pA2(B)+...+p(An)×pAn(B)p\left(B\right)=p\left(A_{1}\right)\times p_{A_{1}}\left(B\right) + p\left(A_{2}\right)\times p_{A_{2}}\left(B\right) + . . . + p\left(A_{n}\right)\times p_{A_{n}}\left(B\right)

Cas particulier fréquent

Comme AA et A\overline{A} forme une partition de l'univers :

p(B)=p(AB)+p(AB)=p(A)×pA(B)+p(A)×pA(B)p\left(B\right)=p\left(A \cap B\right) + p\left(\overline{A} \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right) + p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right)

Remarque

Le diagramme ci-dessous montre, sur un arbre, les chemins à prendre en compte pour calculer p(B)p\left(B\right). Ce sont les chemins qui aboutissent à BB.

arbre pondéré

Exemple

Si on reprend l'exemple ci-dessus, la probabilité que la seconde boule soit blanche est :

p(B2)=p(B1B2)+p(B1B2)p\left(B_{2}\right)=p\left(B_{1} \cap B_{2}\right) + p\left(\overline{B_{1}} \cap B_{2}\right)

p(B2)=p(B1)×pB1(B2)+p(B1)×pB1(B2)p\left(B_{2}\right)=p\left(B_{1}\right)\times p_{B_{1}}\left(B_{2}\right) + p\left(\overline{B_{1}}\right)\times p_{\overline{B_{1}}}\left(B_{2}\right)

arbre pondéré

p(B2)=37×13+47×12=17+27=37p\left(B_{2}\right)=\frac{3}{7}\times \frac{1}{3}+\frac{4}{7}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3}{7}