Primitives, intégrales, équations différentielles

1. Primitives d'une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $I$ .

On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ , si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x$ de $I$ , $F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)$ .

Exemple

La fonction $F: ~x\mapsto x^{2}$ est une primitive de la fonction $f:~x\mapsto 2x$ sur $\mathbb{R}$ .

La fonction $G: ~x\mapsto x^{2}+1$ est aussi une primitive de cette même fonction $f$ .

Propriété

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors les autres primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $F+k$ où $k\in \mathbb{R}.$

Remarque

Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de $f$ mais une primitive de $f$ .

Exemple

Les primitives de la fonction $f:~x\mapsto 2x$ sont les fonctions $F:~ x\mapsto x^{2}+k$ où $k\in \mathbb{R}.$

Propriété

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ .

Propriétés

Primitives des fonctions usuelles :

Fonction $f$	Primitives $F$	Ensemble de validité
$0$	$k$	$\mathbb{R}$
$a$	$ax+k$	$\mathbb{R}$
$x^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+k$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right)$	$- \frac{1}{\left(n - 1\right)x^{n - 1}}+k$	$\mathbb{R} - \left\{0\right\}$
$\frac{1}{x}$	$\ln x+k$	$\left]0;+\infty \right[$
$e^{x}$	$e^{x}+k$	$\mathbb{R}$

Propriétés

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $I$ et admettant respectivement $F$ et $G$ comme primitives sur $I$ et $k$ un réel quelconque.

$F+G$ est une primitive de la fonction $f+g$ sur $I$ .
$kF$ est une primitive de la fonction $kf$ sur $I$ .

Propriétés

Primitives et fonctions composées

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ .

Fonction $f$	Primitives $F$	Condition
$u^{\prime}u^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right)$	$\frac{u^{n+1}}{n+1}+k$
$\frac{u^{\prime}}{u}$	$\ln u+k$	si $u\left(x\right)>0$
$\frac{u^{\prime}}{u^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right)$	$- \frac{1}{\left(n - 1\right)u^{n - 1}}+k$	si $u\left(x\right)\neq 0$
$\frac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}+k$	si $u\left(x\right)>0$
$u^{\prime}e^{u}$	$e^{u}+k$

Exemple

La fonction $x\mapsto \frac{2x}{x^{2}+1}$ admet comme primitives les fonctions de la forme $x\mapsto \ln\left(x^{2}+1\right)+k$ sur tout intervalle de $\mathbb{R}$ (forme $\frac{u^{\prime}}{u}$ ).

2. Intégrales

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\left[a;b\right]$ . L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est le nombre réel noté $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$ défini par:

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(b\right) - F\left(a\right)$ .

Remarques

L'intégrale ne dépend pas de la primitive de $f$ choisie.

En effet si $G$ est une autre primitive de $f$ , on a $G=F+k$ donc :

$G\left(b\right) - G\left(a\right)=F\left(b\right)+k - \left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right) - F\left(a\right)$
Dans l'expression $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$ , $x$ est une variable « muette ». C'est à dire que l'on ne change pas l'expression si on remplace $x$ par une autre lettre. En pratique, on emploie souvent la lettre $t$ notamment lorsque la lettre $x$ est employée par ailleurs.

Notations

On note souvent : $F\left(b\right) - F\left(a\right)=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$ .

On a avec cette notation :

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$ .

Exemple

La fonction $F$ définie par $F\left(x\right)=\frac{x^{3}}{3}$ est une primitive de la fonction carré.

On a donc :

$\int_{0}^{1}x^{2}\text{d}x=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3} - \frac{0}{3}=\frac{1}{3}$ .

Théorème (intégrale fonction de sa borne supérieure)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$ ; la fonction définie sur $I$ par :

$x\mapsto \int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t$

est la primitive de $f$ qui s'annule pour $x=a$ .

Démonstration

Soit $F$ une primitive (quelconque) de $f$ . Posons $\Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t$

$\Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t=F\left(x\right) - F\left(a\right)$

donc:

$\Phi ^{\prime}\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)$ .

Ce qui prouve que $\Phi$ est aussi une primitive de $f$ .

De plus $\Phi \left(a\right)=F\left(a\right) - F\left(a\right)=0$ .

Remarque

Notez bien la position du $x$ en borne supérieure de l'intégrale.

Exemple

La fonction définie sur $\left[0 ; +\infty \right[$ $x\mapsto \int_{1}^{ x}\frac{1}{t}\text{d}t$ (on peut aussi écrire $\int_{1}^{ x}\frac{\text{d}t}{t}$ ) est la primitive de la fonction inverse qui s'annule pour $x=1$ . C'est donc la fonction logarithme népérien:

$\ln\left(x\right)= \int_{1}^{ x}\frac{\text{d}t}{t}.$

Propriété

Relation de Chasles

Soit $f$ une fonction continue sur $\left[a;b\right]$ et $c\in \left[a;b\right]$ .

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{c}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{c}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$ .

Propriété

Linéarité de l'intégrale

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\left[a;b\right]$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ .

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x$
$\int_{a}^{b} \lambda f\left(x\right)\text{d}x=\lambda \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$ .

Propriété

Comparaison d'intégrales

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\left[a;b\right]$ telles que $f\geqslant g$ sur $\left[a;b\right]$ .

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant \int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x$ .

Remarque

En particulier, en prenant pour $g$ la fonction nulle on obtient si $f\left(x\right)\geqslant 0$ sur $\left[a;b\right]$ :

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant 0$ .

3. Interprétation graphique

Définition

Le plan $P$ est rapporté à un repère orthogonal $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$ .

On appelle unité d'aire (u.a.) l'aire d'un rectangle (qui est un carré si le repère est orthonormé) dont les côtés mesurent $||\vec{i}||$ et $||\vec{j}||$ .

$unité d'aire$

Unité d'aire dans le cas d'un repère orthonormé

Propriété

Si $f$ est une fonction continue et positive sur $\left[a;b\right]$ , alors l'intégrale $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$ est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par :

la courbe $C_{f}$ ,
l'axe des abscisses,
les droites (verticales) d'équations $x=a$ et $x=b$ .

Exemple

$aire et intégrale$

L'aire colorée ci-dessus est égale (en unités d'aire) à $\int_{1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x$ .

Remarques

Si $f$ est négative sur $\left[a;b\right]$ , la propriété précédente appliquée à la fonction $- f$ montre que $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$ est égale à l'opposé de l'aire délimitée par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses, les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ .
Si le signe de $f$ varie sur $\left[a;b\right]$ , on découpe $\left[a;b\right]$ en sous-intervalles sur lesquels $f$ garde un signe constant.

Propriété

Si $f$ et $g$ sont des fonctions continues et telles que $f\leqslant g$ sur $\left[a;b\right]$ , alors l'aire de la surface délimitée par :

la courbe $C_{f}$ ,
la courbe $C_{g}$ ,
les droites (verticales) d'équations $x=a$ et $x=b$ .

est égale (en unités d'aire) à :

$A=\int_{a}^{b}\left(g\left(x\right) - f\left(x\right)\right)\text{d}x$ .

Exemple

$f$ et $g$ définies par $f\left(x\right)=x^{2} - x$ et $g\left(x\right)=3x - x^{2}$ sont représentées par les paraboles ci-dessous :

$aire entre deux courbes$

L'aire colorée est égale (en unités d'aire) à :

$A=\int_{0}^{2}\left(g\left(x\right) - f\left(x\right)\right)\text{d}x=\int_{0}^{2} \left(4x - 2x^{2}\right)\text{d}x=\left[2x^{2} - \frac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3} \text{u.a.}$

4. Equation différentielle

Définition

Une équation différentielle est une égalité mettant en relation une fonction et sa dérivée (ou ses dérivées successives).

Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, consiste à trouver l'ensemble des fonctions dérivables sur I qui vérifie l'égalité pour tout $x\in I$

Démonstration

Attention aux notations :
Dans une équation différentielle, l'usage est de noter $y$ pour $f\left(x\right)$ , $y^{\prime}$ pour $f^{\prime}\left(x\right)$ etc.
L'équation différentielle $f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+x$ s'écrira par exemple $y^{\prime}=y+x$ .
Cette notation ne doit pas faire oublier que les solutions recherchées sont des fonctions!

Exemple

La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ est une solution, sur $\mathbb{R}$ , de l'équation différentielle: $2y=xy^{\prime}$ .

En effet : $f\left(x\right)=x^{2}$ et $f^{\prime}\left(x\right)=2x$ donc $2f\left(x\right)=x\times f^{\prime}\left(x\right)$

Théorème

Les solutions, sur $\mathbb{R}$ , de l'équation différentielle $y^{\prime}=ay$ (où $a\in \mathbb{R}$ ) sont les fonctions définies par $f\left(x\right)=Ke^{ax}$ où $K$ est un réel quelconque.

Démonstration

Soit une fonction f définie par $f\left(x\right)=Ke^{ax}$ où $K$ est un réel quelconque.
$f^{\prime}\left(x\right)=aKe^{ax}$ donc $f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right)$ et f est bien solution de l'équation différentielle $y^{\prime}=ay$

Réciproquement, soit $f$ une solution de l'équation différentielle $y^{\prime}=ay$ .
On a $f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ .
Posons $g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{ - ax}$ . $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$g^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)e^{ - ax} - af\left(x\right)e^{ - ax}$ $=\left(f^{\prime}\left(x\right) - af\left(x\right)\right)e^{ - ax}=0$ .
$g$ est donc une fonction constante : $g\left(x\right)=K$ .
Donc $f\left(x\right)e^{ - ax}=K$ , c'est à dire en multipliant chaque membre par $e^{ax}$ : $f\left(x\right)=Ke^{ax}$

Théorème

Les solutions, sur $\mathbb{R}$ , de l'équation différentielle $y^{\prime}=ay+b$ ( où $a\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$ et $b\in \mathbb{R}$ ) sont les fonctions définies par $f\left(x\right)=Ke^{ax} - \frac{b}{a}$ où $K$ est un réel quelconque.

Théorème

Soit $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ un couple de réels.
Il existe une unique fonction $f$ solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime}=ay+b$ ( où $a\in \mathbb{R}$ et $b\in \mathbb{R}$ ) vérifiant la condtion $f\left(x_{0}\right)=y_{0}$

Remarques

La condition $f\left(x_{0}\right)=y_{0}$ est souvent appelée condition initiale.

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Primitives, intégrales, équations différentielles

1. Primitives d'une fonction

Définition

Exemple

Propriété

Remarque

Exemple

Propriété

Propriétés

Propriétés

Propriétés

Exemple

2. Intégrales

Définition

Remarques

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Exemple

Théorème (intégrale fonction de sa borne supérieure)

Démonstration

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Propriété

Propriété

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3. Interprétation graphique

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4. Equation différentielle

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