Pourcentages
1. Part en pourcentage
Définition
Soit un ensemble fini (que l'on appellera ensemble de référence) et une partie de l'ensemble . La part en pourcentage de par rapport à est le nombre :
où (cardinal de ) désigne le nombre d'éléments de et le nombre d'éléments de .
On dit également que représente de .
Remarques
, et sont trois écritures différentes du même nombre (pourcentage, fraction, écriture décimale).
On est en présence d'une situation de proportionnalité que l'on peut représenter par le tableau suivant :
nombre d'éléments de nombre d'éléments de Ceci peut également s'écrire : nombre d'éléments de nombre d'élements de .
Cette dernière égalité permet de calculer le nombre d'éléments de connaissant sa part en pourcentage par rapport à
Exemples
Dans une classe de élèves qui compte garçons le pourcentage de garçons est :
de € font : €
Propriété
Pourcentages de pourcentages Soit 3 ensembles tels que .
Si représente % de et si représente % de , la part en pourcentage de par rapport à est :
Exemple
Dans un lycée de élèves :
% des élèves sont en Seconde;
% des élèves de Seconde sont des filles.
La part des filles de Seconde dans le lycée est :
Le nombre de filles en Seconde est
2. Pourcentages d'évolution
Définition
On considère une quantité passant d'une valeur à une valeur .
Le pourcentage d'évolution de cette quantité est le nombre
Remarques
Le pourcentage d'évolution est positif dans le cas d'une augmentation et négatif dans le cas d'une diminution.
Exemple
Le prix d'un article passe de 80€ à 76€. Le pourcentage d'évolution est :
Le prix de l'article a diminué de 5%
Définition
On considère une quantité passant d'une valeur à une valeur .
Le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel il faut multiplier pour obtenir :
Remarques
On a donc
Le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 dans le cas d'une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d'une diminution.
La fonction qui à l'ancienne valeur associe la nouvelle valeur est :
C'est une fonction linéaire de coefficient directeur
Propriété
Le coefficient multiplicateur s'exprime en fonction du pourcentage d'évolution par:
(où est positif en cas d'augmentation, négatif en cas de diminution)
Remarques
On a donc : .
Dans le cas d'une diminution de %, par exemple, on pourra au choix considérer que :
avec
ou
avec
Dans les deux raisonnements, on obtient évidemment le même coefficient multiplicateur .
Connaissant le coefficient multiplicateur, on a facilement le pourcentage d'évolution grâce à la relation :
Le tableau ci-dessous résume les différents cas :
Prendre de Augmenter de Diminuer de Calculs à effectuer Multiplier par Multiplier par Multiplier par Fonction linéaire
Exemple
Prendre de | Augmenter de | Diminuer de | |
Calculs à effectuer | Multiplier par | Multiplier par | Multiplier par |
Fonction linéaire | |||
Exemples | Prendre de 200 | Augmenter 50 de | Diminuer 50 de |
Résultat |
Propriété (Évolutions successives)
Lors d'évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution
Exemple
Le prix d'un objet augmente de puis diminue de .
Le coefficient multiplicateur global est :
Si désigne le pourcentage d'évolution global en %, on a donc :
Le prix de l'objet a globalement diminué de .
Remarques
Une hausse de ne "compense" pas une baisse de . C'est dû au fait que les deux pourcentages ne portent pas sur le même montant.
En effet, si un objet coûtant 100 euros subit une augmentation de son prix passera à € (les ont été calculé par rapport à €).
Si son prix subit ensuite une diminution de , le montant de la baisse sera calculé par rapport au prix de € et non plus de €. La baisse sera donc de € et non €.
En cas d'évolution successives, les pourcentages d'évolutions ne s'ajoutent (ni ne soustraient) jamais.
Définition et propriété (Taux d'évolution réciproque)
Si le taux d'évolution fait passer de à , on appelle taux d'évolution réciproque , le taux d'évolution qui fait passer de à .
On a alors la relation suivante :
Exemple
Le prix d'un article augmente de 60%. Pour qu'il revienne à son prix de départ, il faut qu'ensuite il varie de tel que :
Il faut donc que le prix diminue de 37,5% pour compenser la hausse de 60%.