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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes et algèbre

1. Ensemble des nombres complexes

Théorème et Définition

On admet qu'il existe un ensemble de nombres (appelés nombres complexes), noté C\mathbb{C} tel que:

  • C\mathbb{C} contient R\mathbb{R}

  • C\mathbb{C} est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent des règles de calcul analogues à celles de R\mathbb{R}

  • C\mathbb{C} contient un nombre noté ii tel que i2=−1i^{2}= - 1

  • Chaque élément zz de C\mathbb{C} s'écrit de manière unique sous la forme z=a+ibz=a+ib où aa et bb sont deux réels.

Exemple

5+12i\sqrt{5}+\frac{1}{2}i , 3i 3i et 2 \sqrt{2} sont des nombres complexes (2\sqrt{2} est un nombre réel mais comme R⊂C\mathbb{R}\subset\mathbb{C} c'est aussi un nombre complexe !)

Remarque

Attention : On définit une addition et une multiplication sur C\mathbb{C} mais on ne définit pas de relation d'ordre (comme ⩽\leqslant ). En effet il n'est pas possible de définir une telle relation qui soit compatible avec celle définie sur R\mathbb{R} et possède les même propriétés que dans R\mathbb{R}.

Dans les exercices, attention donc à ne pas écrire de choses comme z<z′z < z^{\prime}, si zz et z′z^{\prime} sont des nombres complexes non réels !

Définitions

  • L'écriture z=a+ib z = a+ib est appelée la forme algébrique du nombre complexe zz.

  • Le nombre réel aa s'appelle la partie réelle du nombre complexe zz.

  • Le nombre réel bb s'appelle la partie imaginaire du nombre complexe zz.

  • Si la partie réelle de zz est nulle (c'est à dire a=0a=0 et z=biz=bi), on dit que zz est un imaginaire pur .

Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Remarques

  • Cela résulte immédiatement du fait que chaque élément de C\mathbb{C} s'écrit de manière unique sous la forme z=a+ibz=a+ib.

  • En particulier, un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.

2. Conjugué

Définition

Soit zz le nombre complexe z=a+ibz=a+ib.On appelle conjugué de zz, le nombre complexe

z‾=a−ib\overline{z}=a - ib.

Exemple

Soit z=3+4iz=3+4i

Le conjugué de zz est z‾=3−4i\overline{z}=3 - 4i.

Propriétés des conjugués

Pour tous nombres complexes zz et z′z^{\prime} et tout entier naturel nn :

  • z+z′‾=z‾+z‾′\overline{z+z^{\prime}} = \overline{z}+\overline{z}^{\prime}

  • zz′‾=z‾×z‾′\overline{zz^{\prime}} = \overline{z}\times \overline{z}^{\prime}

  • (zz′)‾=z‾z′‾\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} pour z′≠0z^{\prime}\neq 0

  • (zn)‾=(z‾)n\overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n}.

Remarques

  • Par contre, en général, ∣z+z′∣|z+z^{\prime}| n'est pas égal à ∣z∣+∣z′∣|z|+|z^{\prime}|. On peut juste montrer que ∣z+z′∣⩽∣z∣+∣z′∣|z+z^{\prime}| \leqslant |z|+|z^{\prime}| (inégalité triangulaire) ;

  • ROC : La démonstration de certaines de ces propriétés a été demandée au Bac 2014.

3. Équation du second degré à coefficients réels

Propriété

Soient aa, bb, cc trois réels avec a≠0a\neq 0.

Dans C\mathbb{C}, l'équation az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 admet toujours au moins une solution.

Plus précisément, si on note Δ\Delta son discriminant (Δ=b2−4ac\Delta =b^{2} - 4ac) :

  • Si Δ>0\Delta > 0, l'équation possède deux solutions réelles :

    z1=−b−Δ2az_{1}=\frac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} et z2=−b+Δ2a z_{2}=\frac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a}

  • Si Δ=0\Delta = 0, l'équation possède une solution réelle :

    z=−b2az=\frac{ - b}{2a}

  • Si Δ<0\Delta < 0, l'équation possède deux solutions complexes conjuguées l'une de l'autre :

    z1=−b−i−Δ2az_{1}=\frac{ - b - i\sqrt{ - \Delta }}{2a} et z2=−b+i−Δ2a z_{2}=\frac{ - b+i\sqrt{ - \Delta }}{2a}.

Exemple

Soit à résoudre l'équation z2+2z+2=0z^{2}+2z+2=0 dans C\mathbb{C}

Δ=4−8=−4\Delta =4 - 8= - 4

Δ<0\Delta < 0 donc l'équation admet 2 racines complexes conjuguées :

z1=−2−i42=−1−iz_{1}=\frac{ - 2 - i\sqrt{4}}{2}= - 1 - i et z2=−2+i42=−1+i z_{2}=\frac{ - 2+i\sqrt{4}}{2}= - 1+i.

4. Représentation géométrique

Le plan (P)\left(P\right) est muni d'un repère orthonormé (O;u⃗,v⃗)\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)

Définitions

A tout nombre complexe z=a+ibz=a+ib, on associe le point MM de coordonnées (a;b)\left(a ; b\right)

On dit que MM est l'image de zz et que zz est l'affixe du point MM.

A tout vecteur k⃗\vec{k} de coordonnées (a;b)\left(a ; b\right) on associe le nombre complexe z=a+ibz=a+ib.

On dit que zz est l'affixe du vecteur k⃗\vec{k}.

représentation graphique des nombres complexes

Propriétés

  • MM appartient à l'axe des abscisses si et seulement si son affixe zz est un nombre réel

  • MM appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si son affixe zz est un nombre imaginaire pur

  • Deux nombres complexes conjugués ont des affixes symétriques par rapport à l'axe des abscisses

nombres complexes conjugués

Propriétés

Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_{A} et zBz_{B}.

  • l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égale à :

    zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB}}= z_{B} - z_{A}

  • l'affixe du milieu MM du segment [AB]\left[AB\right] est égale à :

    zM=zA+zB2z_{M}= \frac{z_{A}+z_{B}}{2}

Propriétés

Soient w⃗(z)\vec{w}\left(z\right) et w′→(z′)\overrightarrow{w^{\prime}}\left(z^{\prime}\right) deux vecteurs du plan et kk un nombre réel.

  • Le vecteur w⃗+w′→\vec{w}+\overrightarrow{w^{\prime}} a pour affixe z+z′z+z^{\prime} ;

  • Le vecteur kw⃗k\vec{w} a pour affixe kzkz.

5. Forme trigonométrique

Définition

Soit zz un nombre complexe non nul d'image MM dans le repère (O;u⃗,v⃗)\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right).

On appelle module de zz, et on note ∣z∣|z| le nombre réel positif ou nul ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

On appelle argument de zz et on note arg(z)\text{arg}\left(z\right) une mesure, exprimée en radians, de l'angle

(u⃗;OM→)\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right).

forme trigonométrique des nombres complexes

Propriétés des modules

Pour tous nombres complexes zz et z′z^{\prime} :

  • ∣z∣2=z×z‾|z|^{2} = z\times \overline{z}

  • ∣zz′∣=∣z∣×∣z′∣|zz^{\prime}| = |z|\times |z^{\prime}|

  • ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣|\frac{z}{z^{\prime}}| = \frac{|z|}{|z^{\prime}|} pour z′≠0z^{\prime}\neq 0

Propriétés des arguments

Pour tous nombres complexes zz et z′z^{\prime} non nuls et tout entier n∈Zn\in \mathbb{Z} :

  • arg(z‾)=−arg(z)\text{arg}\left(\overline{z}\right)= - \text{arg}\left(z\right)

  • arg(zz′)=arg(z)+arg(z′)\text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right)

  • arg(zn)=n×arg(z)\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)

  • arg(zz′)=arg(z)−arg(z′)\text{arg}\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) - \text{arg}\left(z^{\prime}\right)

Remarque

En particulier :

  • arg(−z)=arg(z)+arg(−1)=arg(z)+π\text{arg}\left( - z\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left( - 1\right) = \text{arg}\left(z\right)+\pi

  • arg(1z)=arg(1)−arg(z)=−arg(z)\text{arg}\left(\frac{1}{z}\right)=\text{arg}\left(1\right) - \text{arg}\left(z\right) = - \text{arg}\left(z\right).

Théorème et définition

Soit zz un nombre complexe non nul de module rr et d'argument θ\theta  :

z=r(cosθ+isinθ)z=r\left(\cos\theta + i \sin\theta \right)

Cette écriture s'appelle forme trigonométrique du nombre zz.

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Soit z=a+ibz=a+ib un nombre complexe non nul.

  • r=∣z∣=a2+b2r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

  • θ=arg(z)\theta =\text{arg}\left(z\right) est défini par :

    cosθ=aa2+b2\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} et sinθ=ba2+b2 \sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Exemple

Soit z=3+iz=\sqrt{3}+i.

∣z∣=3+1=2|z|=\sqrt{3+1}=2

Si θ\theta est un argument de zz :

cosθ=32\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2} et sinθ=12 \sin \theta =\frac{1}{2} donc θ=π6(mod. 2π)\theta =\frac{\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right)

La forme trigonométrique de zz est donc :

z=2(cosπ6+isinπ6)z=2\left(\cos \frac{\pi }{6} + i \sin \frac{\pi }{6}\right) .

représentation graphique du nombre complexe racine de 3 + i

Angle de vecteurs et arguments

Soit A,BA, B et CC trois points du plan d'afixes respectives zAz_{A},zBz_{B}, zCz_{C} avec A≠BA\neq B et A≠CA\neq C :

(AB→;AC→)=arg(zC−zAzB−zA)\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)= \text{arg}\left(\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right).

forme trigonométrique des nombres complexes

Remarques

  • Notez bien l'ordre des affixes (inverse de l'ordre des points dans l'écriture de l'angle).

  • Premier cas particulier important :

    A,BA, B et CC sont alignés
    A,B⇔arg(zC−zAzB−zA)=0 ou π [mod. 2π]\phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) = 0~\text{ou}~\pi~\left[\text{mod. } 2\pi \right]
    A,B⇔zC−zAzB−zA∈R\phantom{A, B} \Leftrightarrow \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} \in \mathbb{R}.

  • Second cas particulier important :

    BAC^\widehat{BAC} est un angle droit
    A,B⇔arg(zC−zAzB−zA)=±π2 [mod. 2π]\phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) = \pm \frac{\pi }{2} ~ \left[\text{mod. } 2\pi \right]
    A,B⇔zC−zAzB−zA\phantom{A, B} \Leftrightarrow \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} est un imaginaire pur.

6. Forme exponentielle

Notation

Si zz est un nombre complexe de module rr et d'argument θ\theta , la notation exponentielle du nombre zz est :

z=reiθz=re^{i\theta }

Remarque

Ce sont les propriétés des arguments :

  • arg(zz′)=arg(z)+arg(z′)\text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right)

  • arg(zn)=n×arg(z)\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)

  • arg(zz′)=arg(z)−arg(z′)\text{arg}\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) - \text{arg}\left(z^{\prime}\right)

similaires aux propriétés de l'exponentielle qui justifient cette notation.

Exemple

Le nombre −1 - 1 a pour module 11 et pour argument π(mod. 2π)\pi \left(\text{mod. } 2\pi \right). On peut donc écrire :

−1=eiπ - 1=e^{i\pi } ou encore eiπ+1=0e^{i\pi }+1=0.

C'est la célèbre identité d'Euler qui relie 00, 11, ee, ii et π\pi .

Les propriétés des arguments vues précédemment s'écrivent alors :

Propriétés

Pour tous réels θ\theta et θ′\theta ^{\prime} :

  • eiθ×eiθ′=ei(θ+θ′)e^{i\theta }\times e^{i\theta ^{\prime}}=e^{i\left(\theta +\theta ^{\prime}\right)}

  • (eiθ)n=einθ\left(e^{i\theta }\right)^{n}=e^{in\theta }

  • eiθeiθ′=ei(θ−θ′)\frac{e^{i\theta }}{e^{i\theta ^{\prime}}}=e^{i\left(\theta - \theta ^{\prime}\right)}.

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