Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Matrices [spé]

1. Définitions

Définition

Une matrice de dimension (ou d'ordre or de taille) [latex]n\times p[/latex] est un tableau de nombres réels (appelés coefficients ou termes) comportant [latex]n[/latex] lignes et [latex]p[/latex] colonnes.

Si on désigne par [latex]a_{ij}[/latex] le coefficient situé à la [latex]i[/latex]-ième ligne et la [latex]j[/latex]-ième colonne la matrice s'écrira :

[latex] A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{np} \end{pmatrix}[/latex]

Exemple

La matrice [latex]A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}[/latex] est une matrice de dimension [latex]2\times 3[/latex]

Notations

On notera, en abrégé, [latex]A=\left(a_{ij}\right)[/latex] la matrice dont le coefficient situé à la [latex]i[/latex]-ème ligne et la [latex]j[/latex]-ième colonne est [latex]a_{ij}[/latex].

Définitions

  • Une matrice carrée est une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.

  • Une matrice ligne est une matrice dont le nombre de lignes est égal à [latex]1[/latex].

  • Une matrice colonne est une matrice dont le nombre de colonnes est égal à [latex]1[/latex].

Exemples

  • La matrice [latex]A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}[/latex] est une matrice carrée (de dimension [latex]2\times 2[/latex] - ou on peut dire, plus simplement, de dimension 2)

  • La matrice [latex]B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0,5 \end{pmatrix}[/latex] est une matrice ligne (de dimension [latex]1\times 3[/latex])

  • La matrice [latex]C=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}[/latex] est une matrice colonne (de dimension [latex]4\times 1[/latex])

Remarque

Pour une matrice carrée, on appelle diagonale principale, la diagonale qui relie le coin situé en haut à gauche au coin situé en bas à droite. Sur l'exemple ci-dessous, les coefficients de la diagonale principale sont marqués en rouge :

[latex]A=\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 3 & 4 \\ 2 & \color{red}{3} & 4 & 5 \\ 3 & 4 & \color{red}{5} & 6 \\ 4 & 5 & 6 & \color{red}{7} \end{pmatrix}[/latex]

Définitions

  • La matrice nulle de dimension [latex]n\times p[/latex] est la matrice de dimension [latex]n\times p[/latex] dont tous les coefficients sont nuls

  • Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tout les coefficients situés en dehors de la diagonale principale sont nuls.

  • La matrice unité de dimension [latex]n[/latex] est la matrice carrée de dimension [latex]n[/latex] qui contient des [latex]1[/latex] sur la diagonale principale et des [latex]0[/latex] ailleurs :

    [latex] A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}[/latex]

Exemples

  • La matrice [latex]A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] est une matrice diagonale d'ordre 4.

  • La matrice unité d'ordre 2 est [latex]I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex].

2. Opérations sur les matrices

Définition (Somme de matrices)

Soient [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] deux matrices de même dimension.

La somme [latex]A+B[/latex] des matrices [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] s'obtient en ajoutant les coefficients de [latex]A[/latex] aux coefficients de [latex]B[/latex] situés à la même position.

Exemple

Soient [latex]A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/latex] et [latex]B=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}[/latex].

Alors :

[latex]A+B=\begin{pmatrix}2-1&-2+1&1+1\\-1-2&1+2&0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&2\\-3&3&0\end{pmatrix}[/latex]

Remarques

  • On ne peut additionner deux matrices que si elles ont les même dimensions, c'est à dire le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.

  • On définit de manière analogue la différence de deux matrices.

Définition (Produit d'une matrice par un nombre réel)

Soient [latex]A[/latex] une matrice et [latex]k[/latex] un nombre réel..

Le produit [latex]kA[/latex] est la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de [latex]A[/latex] par [latex]k[/latex].

Exemple

Si [latex]A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex] alors :

  • [latex]2A=\begin{pmatrix} 2\times 1 & 2\times 1 & 2\times 0 \\ 2\times 2 & 2\times 0 & 2\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix}[/latex]

  • [latex]-A=-1\times A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]

Propriétés

Soient [latex]A[/latex], [latex]B[/latex] et [latex]C[/latex] trois matrices de mêmes dimensions et [latex]k[/latex] et [latex]k^{\prime}[/latex] deux réels.

  • [latex]A+B = B+A [/latex] (commutativité de l'addition)

  • [latex]\left(A+B\right)+C = A+\left(B+C\right)[/latex] (associativité de l'addition)

  • [latex]k\left(A+B\right) = kA+kB[/latex]

  • [latex]\left(k+k^{\prime}\right)A = kA+k^{\prime}A[/latex]

  • [latex]k\left(k^{\prime}A\right) = \left(kk^{\prime}\right)A[/latex]

Définition (Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne)

Soient [latex]A=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)[/latex] une matrice ligne [latex]1\times n[/latex] et [latex]B=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix}[/latex] une matrice colonne [latex]n\times 1[/latex]. Le produit de [latex]A[/latex] par [latex]B[/latex] est le nombre réel :

[latex]A\times B = \left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)\times \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n}[/latex]

Remarque

  • Les deux matrices [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] doivent avoir le même nombre [latex]n[/latex] de coefficients.

  • Pour cette formule, la matrice ligne doit être impérativement en premier !

Exemple

Si [latex] A=\left(1 2 3 4\right) [/latex] et [latex] B=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}[/latex]

[latex]A\times B = 1\times 5 + 2\times 6 + 3\times 7 + 4\times 8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70[/latex]

Définition (Produit de deux matrices)

Soient [latex]A=\left(a_{ij}\right)[/latex] une matrice [latex]n\times p[/latex] et [latex]B=\left(b_{ij}\right)[/latex] une matrice [latex]p\times q[/latex]. Le produit de [latex]A[/latex] par [latex]B[/latex] est la matrice [latex]C=\left(c_{ij}\right)[/latex] à [latex]n[/latex] lignes et [latex]q[/latex] colonnes dont le coefficient situé à la [latex]i[/latex]-ième ligne et la [latex]j[/latex]-ième colonne est obtenu en multipliant la [latex]i[/latex]-ième ligne de A par la [latex]j[/latex]-ième colonne de B.

C'est à dire que pour tout [latex]1 \leqslant i \leqslant n[/latex] et tout [latex]1 \leqslant j \leqslant q[/latex] :

[latex]c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}[/latex]

Remarque

Faites bien attention aux dimensions des matrices : Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde pour que le calcul soit possible.

Par exemple, le produit d'une matrice [latex]2\times \color{red}{3}[/latex] par une matrice [latex]\color{red}{3}\times 4[/latex] est possible et donnera une matrice [latex]2\times 4[/latex].

Par contre, le produit d'une matrice [latex]2\times \color{red}{3}[/latex] par une matrice [latex]\color{red}{2}\times 3[/latex] n'est pas possible.

Exemple

Calculons le produit [latex]C=A\times B[/latex] avec :

[latex]A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/latex] et [latex] B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/latex]

Ce calcul est possible car le nombre de colonnes de [latex]A[/latex] est égal au nombre de lignes de [latex]B[/latex]. Le résultat [latex]C[/latex] sera une matrice [latex]2\times 3[/latex] ([latex]\color{red}{2}\times 2 [/latex]par[latex] 2\times \color{red}{3} \rightarrow \color{red}{2}\times \color{red}{3}[/latex])

Notons [latex]C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \end{pmatrix}[/latex]

Pour calculer [latex]c_{11}[/latex] on multiplie la première ligne de [latex]A[/latex] et la première colonne de [latex]B[/latex] :

[latex]C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \color{red}{-1} & 0 & 2 \\ \color{red}{-2} & 1 & 0\end{pmatrix}[/latex]

on a donc [latex]c_{11}=2\times \left(-1\right)+4\times \left(-2\right)=-2-8=-10[/latex]

[latex]C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\color{red}{-1} & 0 & 2 \\ \color{red}{-2} & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{red}{-10} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}[/latex]

Pour calculer [latex]c_{12}[/latex] on multiplie la première ligne de [latex]A[/latex] et la seconde colonne de [latex]B[/latex] :

[latex]C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1 & \color{red}{0} & 2 \\ -2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}[/latex]

on a donc [latex]c_{12}=2\times 0+4\times 1=0+4=4[/latex]

[latex]C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1 & \color{red}{0} & 2 \\ -2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & \color{red}{4} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}[/latex]

Et ainsi de suite...

Au final on trouve :

[latex]C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & 4 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/latex]

Dans ce qui suit, on s'intéressera principalement à des matrices carrées.

Propriété

Soit [latex]A, B[/latex] et [latex]C[/latex], trois matrices carrées de même dimension.

  • [latex]A\times \left(B+C\right) = A\times B + A\times C[/latex] (distributivité à gauche)

  • [latex]\left(A+B\right)\times C = A\times C + B\times C[/latex] (distributivité à droite)

  • [latex]A\times \left(B\times C\right) = \left(A\times B\right)\times C[/latex] (associativité de la multiplication)

Par contre en général : [latex]A\times B\neq B\times A[/latex] : la multiplication n'est pas commutative.

Exemple

Soit [latex]A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex] et [latex]B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}[/latex]

[latex]A \times B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]

tandis que :

[latex]B \times A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}[/latex]

Par conséquent [latex]A\times B \neq B\times A[/latex]

Définition (Puissance d'une matrice)

Soit [latex]A[/latex] une matrice carrée et [latex]n[/latex] un entier naturel.

On note [latex]A^{n}[/latex] la matrice :

[latex]A^{n}=A\times A\times \cdots.\times A[/latex] ([latex]n[/latex] facteurs)

Remarque

Par convention, on considèrera que [latex]A^{0}[/latex] est la matrice unité de même taille que [latex]A[/latex]

Définition (Matrice inversible)

Une matrice carrée A de dimension [latex]n[/latex] est inversible si et seulement si il existe une

matrice [latex]B[/latex] telle que

[latex]A\times B = B\times A = I_{n}[/latex]

où [latex]I_{n}[/latex] est la matrice unité de dimension [latex]n[/latex]

La matrice [latex]B[/latex] est appelée matrice inverse de [latex]A[/latex] et notée [latex]A^{-1}[/latex].

3. Résolution de systèmes d'équations

Soit le système :

[latex]\left(S\right) \left\{ \begin{matrix} ax+by=s \\ cx+dy=t \end{matrix}\right.[/latex]

d'inconnues [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex].

Si l'on pose [latex]A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/latex], [latex]X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/latex] et [latex]B=\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}[/latex], le système [latex]\left(S\right)[/latex] peut s'écrire :

[latex]A\times X=B[/latex]. Le théorème ci-dessous permet alors de résoudre ce système.

Théorème

Soit [latex]A[/latex] une matrice carrée.

Si [latex]A[/latex] est inversible, le système [latex]A\times X=B[/latex] admet une solution unique donnée par :

[latex]X=A^{-1}\times B[/latex]

Exemple

On cherche à résoudre le système :

[latex]\left(S\right) \left\{ \begin{matrix} 3x+4y=1 \\ 5x+7y=2 \end{matrix}\right.[/latex]

Pour cela on pose : [latex]A=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex], [latex]X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/latex] et [latex]B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/latex].

L'écriture matricielle est alors [latex]A\times X=B[/latex]

A la calculatrice, on trouve que [latex]A[/latex] est inversible d'inverse [latex]A^{-1}=\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}[/latex].

La solution du système est donné par :

[latex]X=A^{-1}\times B=\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix}[/latex]

C'est à dire [latex]x=-1[/latex] et [latex]y=1[/latex].

Dans ce chapitre :