Lois normales
1. Loi normale centrée réduite
Définition
On dit qu'une variable aléatoire [latex]X[/latex] suit la loi normale centrée réduite sur [latex]\mathbb{R}[/latex] (notée [latex]\mathscr N \left(0;1\right)[/latex]) si sa densité de probabilité [latex]f[/latex] est définie par :
[latex]f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{x^{2}}{2}}}[/latex]
Cela signifie que, pour tous réels [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] tels que [latex]a\leqslant b[/latex]:
[latex]p\left(a\leqslant X\leqslant b\right)=\int_{a}^{ b}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt[/latex]
Remarques
On admet que [latex]f[/latex] définit bien une densité, c'est à dire que l'aire comprise entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de [latex]f[/latex] est égale à 1
On a également :
[latex]p\left(X\geqslant a\right) =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\int_{a}^{ x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt [/latex] (limite que l'on peut noter : [latex]\int_{a}^{ +\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt [/latex])
[latex]p\left(X\leqslant b\right) =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\int_{x}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt [/latex] (limite que l'on peut noter : [latex]\int_{-\infty }^{ b}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt [/latex])
La fonction [latex]f : x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{x^{2}}{2}}}[/latex] est dérivable sur [latex]\mathbb{R}[/latex], paire, positive, son tableau de variation est :
et sa courbe représentative :
[latex]p\left(a\leqslant X\leqslant b\right)[/latex] est l'aire du domaine coloré ci-dessous :
[latex]p\left(X\leqslant a\right)[/latex] est l'aire du domaine coloré ci-dessous :
Propriétés
Soit [latex]X[/latex] une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite :
L'espérance mathématique de [latex]X[/latex] est [latex]E\left(X\right)=0[/latex] (loi centrée) ;
La variance de [latex]X[/latex] est [latex]\sigma \left(X\right)=1[/latex] (loi réduite).
Propriétés
Soit [latex]X[/latex] une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et [latex] a [/latex] un réel quelconque :
[latex]p\left(X\leqslant 0\right)=p\left(X\geqslant 0\right)=0,5[/latex]
[latex]p\left(X\leqslant -a\right)=p\left(X\geqslant a\right)[/latex]
[latex]p\left(-a \leqslant X\leqslant a\right)=1-2\times p\left(X\geqslant a\right)[/latex][latex]=2\times p\left(X\leqslant a\right)-1[/latex]
Remarque
Ces propriétés résultent du fait que :
la courbe de la fonction [latex]x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{x^{2}}{2}}}[/latex] est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
l'aire comprise entre l'axe des abscisses et la courbe est égale à 1.
On retrouve facilement ces propriétés à l'aide d'une figure par exemple pour la seconde formule :
[latex]p\left(X\leqslant -a\right)=p\left(X\geqslant a\right)[/latex]
Propriété («Loi normale inverse»)
Soient [latex]X[/latex] une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et un réel [latex]k \in \left]0;1\right[ [/latex].
Il existe un unique réel [latex]m_{k}[/latex] tel que [latex]p\left(X\leqslant m_{k}\right)=k[/latex].
Remarque
On peut calculer les valeurs de [latex]m_{k}[/latex] à la calculatrice.
Théorème
Soient [latex]X[/latex] une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et un réel [latex]\alpha \in \left]0;1\right[ [/latex].
Il existe un unique réel [latex]u_\alpha [/latex] tel que :
[latex]p\left(-u_\alpha \leqslant X\leqslant u_\alpha \right)=1-\alpha[/latex].
[latex]p\left(-u_\alpha \leqslant X\leqslant u_\alpha \right)=1-\alpha [/latex]
Remarques
En utilisant la formule [latex]p\left(-\alpha \leqslant X\leqslant a\right)=2\times p\left(X\leqslant a\right)-1[/latex] et la «loi normale inverse» on peut calculer les valeurs de [latex]u_\alpha [/latex] à la calculatrice.
Deux valeurs à retenir :
[latex]u_{0,05}=1,96 [/latex] c'est à dire que [latex]p\left(-1.96\leqslant X\leqslant 1.96\right)=0,95[/latex]
[latex]u_{0,01}=2,58 [/latex] c'est à dire que [latex]p\left(-2,58\leqslant X\leqslant 2,58\right)=0,99[/latex]
2. Loi normale d'espérance [latex]\mu [/latex] et d'écart-type [latex]\sigma [/latex]
Définition et théorème
Soient deux réels [latex]\mu [/latex] et [latex]\sigma > 0[/latex].
On dit qu'une variable aléatoire [latex]X[/latex] suit une loi normale de paramètres [latex]\mu [/latex] et [latex]\sigma ^{2}[/latex] (notée [latex]\mathscr N \left(\mu ; \sigma ^{2}\right)[/latex]) si la variable aléatoire [latex]Y=\frac{X-\mu }{\sigma} [/latex] suit la loi normale centrée réduite.
L'espérance mathématique de [latex]X[/latex] est [latex]\mu [/latex] et son écart-type [latex]\sigma [/latex] (et donc sa variance [latex]\sigma ^{2}[/latex]).
Remarque
La courbe représentative de la distribution d'une loi [latex]\mathscr N \left(\mu ; \sigma ^{2}\right)[/latex] est une courbe « en cloche » qui admet la droite d'équation [latex]x=\mu [/latex] comme axe de symétrie. Elle est plus ou moins « étirée » selon les valeurs de [latex]\sigma [/latex]
[latex]\mu =3[/latex] et [latex] \sigma =0,5[/latex] ; [latex]1[/latex] ; [latex]2[/latex]
Propriété (Règle des trois sigmas)
Si [latex]X[/latex] suit une loi normale [latex]\mathscr N \left(\mu ; \sigma ^{2}\right)[/latex] alors :
[latex]p\left(\mu -\sigma \leqslant X\leqslant \mu + \sigma \right)\approx 0,68[/latex] (à [latex]10^{-2}[/latex] près)
[latex]p\left(\mu -2\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 2\sigma \right)\approx 0,95[/latex] (à [latex]10^{-2}[/latex] près)
[latex]p\left(\mu -3\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 3\sigma \right)\approx 0,997[/latex] (à [latex]10^{-3}[/latex] près)
Exemple
Si [latex]X[/latex] suit une loi normale [latex]\mathscr N \left(11 ; 3^{2}\right)[/latex] alors :
[latex]p\left(5\leqslant X\leqslant 17\right)\approx 0,95[/latex]
3. Théorème de Moivre-Laplace
Théorème (Moivre-Laplace)
Soit [latex]X_{n}[/latex] une variable aléatoire qui suit une loi binomiale [latex]\mathscr B \left(n;p\right)[/latex].
On pose [latex]Z_{n}=\frac{X_{n}-E\left(X_{n}\right)}{\sigma \left(X_{n}\right)}[/latex].
Alors pour tous réels [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] :
[latex]\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }p\left(a\leqslant Z_{n}\leqslant b\right)=\int_{a}^{ b}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt[/latex]
Remarques
On rappelle que pour une loi binomiale [latex]X[/latex] de paramètres [latex]n[/latex] et [latex]p[/latex] :[latex]E\left(X\right)=np[/latex] et [latex]\sigma \left(X\right)^{2}=np\left(1-p\right)[/latex]. [latex]Z_{n}[/latex] peut donc aussi s'écrire : [latex]Z_{n}=\frac{X_{n}-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}[/latex]
Ce théorème signifie que pour [latex]n[/latex] élevé, la loi de [latex]Z_{n}[/latex] est proche de la loi normale centrée réduite :
Histogramme de [latex]Z_{n}[/latex] pour [latex]n=24[/latex] et [latex]p=0,5[/latex] et loi [latex]\mathscr N \left(0;1\right)[/latex]
En pratique, on considèrera que «[latex]n[/latex] est suffisamment élevé» si [latex]n\geqslant 30[/latex] ; [latex]np\geqslant 5[/latex] ; [latex]n\left(1-p\right)\geqslant 5[/latex].
La loi binomiale [latex]X[/latex] pourra alors être approximée par la loi normale [latex]\mathscr N \left(E\left(X\right);\sigma \left(X\right)^{2}\right)[/latex]
Exemple
[latex]X[/latex] suit une loi binomiale [latex]\mathscr B \left(30 ; 0,4\right)[/latex].
On cherche à calculer [latex]p\left(7 < X \leqslant 17\right)[/latex].
Posons [latex]Z=\frac{X-30\times 0.4}{\sqrt{30\times 0.4\times 0.6}}=\frac{X-12}{\sqrt{7,2}}[/latex].
Alors :
[latex]7 < X \leqslant 17 \Leftrightarrow -5 < X-12\leqslant 5 [/latex]
[latex]\phantom{7 < X \leqslant 17} \Leftrightarrow -\frac{5}{\sqrt{7,2}} < \frac{X-12}{\sqrt{7,2}}\leqslant \frac{5}{\sqrt{7,2}}[/latex]
[latex]\phantom{7 < X \leqslant 17}\Leftrightarrow -1,86 < Z\leqslant 1,86[/latex]
On a bien [latex]n\geqslant 30[/latex] ; [latex]np\geqslant 5[/latex] ; [latex]n\left(1-p\right)\geqslant 5[/latex]. On peut donc approximer [latex]Z[/latex] par une loi normale centrée réduite.
A la calculatrice on trouve alors :
[latex]p\left(-1,86 < Z \leqslant 1,86\right)\approx 0,937 [/latex](un calcul direct avec la loi binomiale donne [latex]0,935[/latex])