Limites d'une fonction
1. Définitions
Définition
Limite infinie quand x tend vers l'infini.
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;+∞[.
On dit que que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ lorsque pour x suffisamment grand, f(x) est aussi grand que l'on veut. On écrit alors que x→+∞limf(x)=+∞.
x→+∞limf(x)=+∞
Remarque
On définit de façon similaire les limites :
x→+∞limf(x)=−∞ ; x→−∞limf(x)=+∞ ; x→−∞limf(x)=−∞.
Définition
Limite finie quand x tend vers l'infini.
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;+∞[.
On dit que que f(x) tend vers l quand x tend vers +∞ lorsque pour x suffisamment grand, f(x) est aussi proche de l que l'on veut. On écrit alors que x→+∞limf(x)=l.
x→+∞limf(x)=0
Remarque
On définit de façon similaire la limite x→−∞limf(x)=l.
Définition
Si x→−∞limf(x)=l ou x→+∞limf(x)=l, on dit que la droite d'équation y=l est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f.
Exemple
Sur la courbe ci-dessus, la droite d'équation y=0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.
Définition
Limite infinie quand x tend vers un réel.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a;b[ (avec a<b).
On dit que que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a par valeurs supérieures lorsque f(x) est aussi grand que l'on veut quand x se rapproche de a en restant supérieur à a. On écrit alors x→a+limf(x)=+∞ ou x>ax→alimf(x)=+∞.
De même, on dit que que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers b par valeurs inférieures lorsque f(x) est aussi grand que l'on veut quand x se rapproche de b en restant inférieur à b. On écrit alors x→b−limf(x)=+∞ ou x<bx→blimf(x)=+∞.
Enfin, si c∈]a;b[ , on dit que que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers c si f(x) tend vers +∞ quand x tend vers c par valeurs supérieures et par valeurs inférieures. On écrit alors x→climf(x)=+∞.
Remarque
On définit de façon symétrique x→a−limf(x)=−∞, x→a+limf(x)=−∞ et x→alimf(x)=−∞ en remplaçant « f(x) est aussi grand que l'on veut » par « f(x) est aussi petit que l'on veut » dans la définition.
Définition
Si x→c−limf(x)=±∞ ou x→c+limf(x)=±∞ ou x→climf(x)=±∞, on dit que la droite d'équation x=c est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f.
Exemple
Sur les trois courbes de la figure ci-dessous, la droite d'équation x=0 est asymptote verticale à la courbe représentative de f.
Définition
Limite finie quand x tend vers un réel.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a;b[ (avec a<b).
On dit que que f(x) tend vers l quand x tend vers a par valeurs supérieures lorsque f(x) se rapproche de l quand x se rapproche de a en restant supérieur à a.
On écrit alors x→a+limf(x)=l ou x→ax>alimf(x)=l.
De même, on dit que que f(x) tend vers l quand x tend vers b par valeurs inférieures lorsque f(x) se rapproche de l quand x se rapproche de b en restant inférieur à b.
On écrit alors x→b−limf(x)=l ou x→bx<blimf(x)=l.
Enfin, si c∈]a;b[ , on dit que que f(x) tend vers l quand x tend vers c si f(x) tend vers l quand x tend vers c par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.
On écrit alors x→climf(x)=l.
2. Limites usuelles
Propriétés
Pour tout entier n>1 :
x→−∞limxn={−∞ si n est impair+∞ si n est pair
x→+∞limxn=+∞
x→−∞limxn1=0
x→+∞limxn1=0
x→0−limx1=−∞
x→0+limx1=+∞
x→+∞lim√x=+∞
x→+∞limex=+∞
x→−∞limex=0
3. Opérations sur les limites
Propriétés
Limite d'une somme.
a désigne un réel ou +∞ ou −∞.
x→alimf(x) | x→alimg(x) | x→alimf(x)+g(x) |
l | l′ | l+l′ |
l | +∞ | +∞ |
l | −∞ | −∞ |
+∞ | +∞ | +∞ |
−∞ | −∞ | −∞ |
+∞ | −∞ | F.I. |
F.I. signifie forme indéterminée.
Remarque
« Forme indéterminée » ne signifie pas que la limite n'existe pas mais que les formules d'opérations sur les limites ne permettent pas de trouver directement limite. Pour la calculer, il faut alors « lever l'indétermination » par exemple en simplifiant une fraction (cf. fiches méthodes).
Propriétés
Limite d'un produit.
a désigne un réel ou +∞ ou −∞.
x→alimf(x) | x→alimg(x) | x→alimf(x)×g(x) |
l | l′ | l×l′ |
l≠0 | ±∞ | (signe)∞ |
±∞ | ±∞ | (signe)∞ |
0 | ±∞ | F.I. |
F.I. signifie forme indéterminée.
±∞ signifie que la formule s'applique pour +∞ et pour −∞.
(signe)∞ signifie que l'on utilise la règle des signes usuelle :
+×+=+
+×−=−
−×−=+
pour déterminer si la limite vaut +∞ ou −∞.
Propriétés
Limite d'un quotient.
a désigne un réel ou +∞ ou −∞.
x→alimf(x) | x→alimg(x) | x→alimg(x)f(x) |
l | l′≠0 | l′l |
l≠0 | 0 | (signe)∞ |
0 | 0 | F.I. |
l | ±∞ | 0 |
±∞ | l | (signe)∞ |
±∞ | ±∞ | F.I. |
Propriété
Limite d'une fonction composée.
a, b et c désignent des réels ou +∞ ou −∞.
Si x→alimf(x)=b et x→blimg(x)=c alors :
x→alimg(f(x))=c.
Remarque
On pose souvent X=f(x) («changement de variable») et on écrit alors :
x→alimX=x→alimf(x)=b
x→alimg(f(x))=X→blimg(X)=c.
Exemple
On cherche à calculer :
x→−∞lim√1+x2.
On pose X=1+x2. Alors :
x→−∞limX=x→−∞lim1+x2=+∞
et
x→−∞lim√1+x2=X→+∞lim√X=+∞.
4. Théorèmes de comparaison
Théorèmes
Si f(x)⩾g(x) sur un intervalle de la forme [a;+∞[ et si x→+∞limg(x)=+∞ alors :
x→+∞limf(x)=+∞.
Si f(x)⩽g(x) sur un intervalle de la forme [a;+∞[ et si x→+∞limg(x)=−∞ alors :
x→+∞limf(x)=−∞.
Théorème
Théorème des "gendarmes".
Si g(x)⩽f(x)⩽h(x) sur un intervalle de la forme [a;+∞[ et si x→+∞limg(x)=x→+∞limh(x)=l alors :
x→+∞limf(x)=l.
Remarque
On a des théorèmes similaires lorsque x→−∞.