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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Les suites

1 - Caractéristiques d'une suite géométrique

Définition

On dit qu'une suite (un)n∈N\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique s'il existe un nombre réel qq tel que :

pour tout n∈Nn\in \mathbb{N}, un+1=q×unu_{n+1}=q \times u_{n}

Le réel qq s'appelle la raison de la suite géométrique (un)\left(u_{n}\right).

Remarque

Pour démontrer qu'une suite (un)n∈N\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_{n}}.

Si ce rapport est une constante qq, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison qq.

Exemple

Soit la suite (un)n∈N\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} définie par un=32nu_{n}=\frac{3}{2^{n}}.

Les termes de la suite sont tous strictement positifs et

un+1un=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=32n+1×2n3=2n2n+1=\frac{3}{2^{n+1}}\times \frac{2^{n}}{3}=\frac{2^{n}}{2^{n+1}}=2n2×2n=12\frac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\frac{1}{2}

La suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison 12\frac{1}{2}

Propriété

Pour nn et kk quelconques entiers naturels, si la suite (un)\left(u_{n}\right) est géométrique de raison qq :un=uk×qn−ku_{n}=u_{k}\times q^{n - k}.

En particulier un=u0×qnu_{n}=u_{0}\times q^{n}.

Propriété

Réciproquement, soient aa et bb deux nombres réels. La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=a×bnu_{n}=a\times b^{n} suite est une suite géométrique de raison q=bq=b et de premier terme u0=au_{0}=a.

Démonstration

un+1=a×bn+1=a×bn×b=un×bu_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b

et

u0=a×b0=a×1=au_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a

Théorème

Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q>0q > 0 et de premier terme strictement positif :

  • Si q >1, la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante

  • Si 0 < q <1, la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante

  • Si q=1, la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante

Théorème

Si (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) sont deux suites géométriques de raison respectives qq et q′q^{\prime} alors le produit (wn)\left(w_{n}\right) de ces deux suites défini par :

wn=un×vnw_{n}=u_{n}\times v_{n}

est une suite géométrique de raison q′′=q×q′q^{\prime\prime}=q\times q^{\prime}

2 - Somme des puissances successives d'un nombre

Théorème

Soit qq un nombre réel différent de 1:

1+q+q2+...+qn=1−qn+11−q1+q+q^{2}+ . . . +q^{n} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Remarque

Cette formule n'est pas valable pour q=1q=1. Mais dans ce cas le calcul est immédiat car tous les termes sont égaux à 1.

Exemple

Soit à calculer la somme S=1+2+4+8+16+...+2nS=1+2+4+8+16 + . . .+2^{n}

Donc:

S=1−2n+11−2=1−2n+1−1=2n+1−1S=\frac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2}=\frac{1 - 2^{n+1}}{ - 1}=2^{n+1} - 1

3 - Limite de la suite (qn)\left(q^{n}\right) où q⩾0q\geqslant 0

Théorème

Soit qq un nombre réel positif.

  • Si q>1q > 1 : alors qnq^{n} est aussi grand que l'on veut dès que nn est suffisamment grand. On dit que la suite (qn)\left(q^{n}\right) tend vers +∞+\infty et on écrit :

    limn→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = +\infty ( ou limn→+∞(qn)=+∞\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = +\infty )

  • Si 0⩽q<1 0 \leqslant q < 1 : alors qnq^{n} est aussi proche de zéro que l'on veut dès que nn est suffisamment grand. On dit que la suite (qn)\left(q^{n}\right) tend vers 00 et on écrit :

    limn→+∞qn=0\lim\limits_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = 0 ( ou limn→+∞(qn)=0\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = 0)

Remarque

Pour q=1q=1 qn=1n=1q^{n}=1^{n}=1; la suite est constante, égale à 11, et tend donc vers 11;

4 - Suites arithmético-géométriques

Définition

Une suite arithmético-géométrique unu_{n} est définie par son premier terme u0u_{0} et une relation de récurrence du type :

un+1=a×un+bu_{n+1} = a\times u_{n}+b pour tout entier nn

où aa et bb sont deux nombres réels.

Remarque

Attention : Ces suites ne sont ni arithmétiques (sauf si a=1a=1) ni géométriques (sauf si b=0b=0).

Propriété

Il existe un nombre réel kk tel que la suite vnv_{n} définie, pour tout entier nn, par vn=un+kv_{n}=u_{n}+k soit une suite géométrique de raison aa.

Remarques

  • En général, dans les exercices, le nombre kk vous sera donné (et si ce n'est pas le cas on vous indiquera une démarche pour le trouver). On vous demandera de prouver que vnv_{n} est une suite géométrique de raison aa.

  • Puisque vn=un+kv_{n}=u_{n}+k, pour tout entier nn, on a en particulier v0=u0+kv_{0}=u_{0}+k ce qui permet de connaître le premier terme de la suite vnv_{n}.

  • vn=un+kv_{n}=u_{n}+k signifie aussi que un=vn−ku_{n}=v_{n} - k.

    Donc une fois que l'on connaît vnv_{n} on peut trouver unu_{n} (voir exemple ci-dessous)

Exemple détaillé

Soit la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par u0=5u_{0}=5 et un+1=0,6un+4u_{n+1}=0,6u_{n}+4.

  1. Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie par vn=un−10v_{n}=u_{n} - 10 est une suite géométrique.

  2. En déduire l'expression de unu_{n} en fonction de nn.

  1. Montrons que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique Pour montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est géométrique on va calculer vn+1v_{n+1} en fonction de vnv_{n}.

    vn=un−10v_{n}=u_{n} - 10 pour tout entier nn donc :

    vn+1=un+1−10v_{n+1}=u_{n+1} - 10

    or on sait que

    un+1=0,6un+4u_{n+1}=0,6u_{n}+4

    donc

    vn+1=0,6un+4−10=0,6un−6v_{n+1}=0,6u_{n}+4 - 10 = 0,6u_{n} - 6

    Ici, une petite astuce consiste à mettre 0,60,6 en facteur (on peut également dire que un=vn+10u_{n}=v_{n}+10 et remplacer unu_{n} par vn+10v_{n}+10)

    vn+1=0,6un−0,6×10=0,6(un−10)=0,6vnv_{n+1}=0,6u_{n} - 0,6\times 10=0,6\left(u_{n} - 10\right)=0,6v_{n}

    On a bien une relation du type vn+1=q×vnv_{n+1}=q\times v_{n} avec q=0,6q=0,6 ce qui montre que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison 0,60,6.

  2. Expression de unu_{n} en fonction de nn Par ailleurs, v0=u0−10=5−10=−5v_{0}=u_{0} - 10=5 - 10= - 5

    (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de premier terme v0=5v_{0}=5 et de raison q=0,6q=0,6 donc pour tout entier nn:

    vn=v0×qn=−5×0,6nv_{n}=v_{0}\times q^{n}= - 5\times 0,6^{n}

    Comme un=vn+10u_{n}=v_{n}+10, on obtient finalement :

    un=−5×0,6n+10u_{n}= - 5\times 0,6^{n}+10

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