Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Ensembles de nombres - Intervalles - Valeurs absolues

I - Les ensembles de nombres

Définition

N={0;1;2;3;4;5;6;}\mathbb{N}=\left\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; \cdots \right\} est l'ensemble des entiers naturels.

Remarque

On emploie le signe \in pour indiquer qu'un nombre appartient à un ensemble. On écrira par exemple: 2N2\in \mathbb{N} et 23N\frac{2}{3} \notin \mathbb{N}.

Définition

Z={;3;2;1;0;1;2;3;}\mathbb{Z}= \left\{\cdots; - 3; - 2 ; - 1; 0; 1; 2; 3; \cdots \right\} est l'ensemble des entiers relatifs.

Définition

D\mathbb{D} est l'ensemble des nombres décimaux. Les nombres décimaux peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (1; 10; 100; 1 000; ...).
Ils peuvent aussi s'écrire sous forme décimale dont le nombre de chiffres après la virgule est finie.

Remarques

  • "fini" signifie ici « qui n'est pas infini ».

  • Les calculatrices les plus simples ne manipulent que des nombres décimaux pour effectuer les calculs. Certaines permettent des opérations sur les fractions. Quelques modèles plus avancés (effectuant du "calcul formel") peuvent également effectuer des calculs avec des nombres irrationnels.

Définition

Q\mathbb{Q} est l'ensemble des nombres rationnels. Les nombres rationnels peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers relatifs.

Définition

R\mathbb{R} est l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels sont tous les nombres connus (en Seconde...).

Remarque

Les nombres réels qui ne sont pas rationnels (comme π\pi ou 2\sqrt{2} ) sont appelés des nombres irrationnels.

Propriété

NZDQR\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

 représentation graphique d'une fonction

Remarques

  • Le symbole \subset se lit "inclus dans".

  • La proposition précédente signifie que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs qui sont eux-même des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels.

  • Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s'écrire 2,0 (écriture décimale) 21\frac{2}{1} ou 42\frac{4}{2} etc. (écriture fractionnaire) 4\sqrt{4} (écriture avec un radical) et même (aussi curieux que cela puisse vous paraitre) 1,999999.... (écriture décimale illimitée).

II - Intervalles

Intervalles bornés

Définition

Soient aa et bb deux nombres réels tels que a<b a < b .

  • L'intervalle fermé [a ; b] \left[ a~;~b \right] est l'ensemble des nombres réels xx tels que axb. a \leqslant x \leqslant b.

  • L'intervalle ouvert ]a ; b[ \left] a~;~b \right[ est l'ensemble des nombres réels xx tels que a<x<b. a < x < b.

  • L'intervalle [a ; b[ \left[ a~;~b \right[ (fermé en aa, ouvert en bb) est l'ensemble des nombres réels xx tels que ax<b. a \leqslant x < b.

  • L'intervalle ]a ; b] \left] a~;~b \right] (ouvert en aa, fermé en bb) est l'ensemble des nombres réels xx tels que a<xb. a < x \leqslant b.

Exemple

Par exemple, l'intervalle [2 ; 3[ \left[ - 2~;~3 \right[ est constitué des nombres réels qui sont à la fois supérieur ou égal à 2 - 2 et strictement inférieur à 33.

On pourra, par exemple, écrire :

  • 3[2 ; 3[ - 3 \notin \left[ - 2~;~3 \right[

  • 2[2 ; 3[ - 2 \in \left[ - 2~;~3 \right[

  • 0[2 ; 3[ 0 \in \left[ - 2~;~3 \right[

  • 3[2 ; 3[ 3 \notin \left[ - 2~;~3 \right[

  • 4[2 ; 3[ 4 \notin \left[ - 2~;~3 \right[

On peut représenter l’intervalle [2 ; 3[ \left[ - 2~;~3 \right[ de la façon suivante :

Intervalle ouvert-fermé

Intervalles non bornés

Définition

Soit aa un nombre réel.

  • L'intervalle [a ; +[\left[ a~;~+\infty \right[ est l'ensemble des nombres réels xx tels que xa. x \geqslant a.

  • L'intervalle ]a ; +[\left] a~;~+\infty \right[ est l'ensemble des nombres réels xx tels que x>a. x > a.

  • L'intervalle ] ; a]\left] - \infty~;~a \right] est l'ensemble des nombres réels xx tels que xa. x \leqslant a.

  • L'intervalle ] ; a]\left] - \infty~;~a \right] est l'ensemble des nombres réels xx tels que x<a. x < a.

Remarque

En + +\infty et en - \infty , le crochet est toujours ouvert.

Exemple

  • 0[1 ; +[ 0 \notin \left[ 1~;~ +\infty \right[

  • 1[1 ; +[ 1 \in \left[ 1~;~ +\infty \right[

  • 100[1 ; +[ 100 \in \left[ 1~;~ +\infty \right[

On représente l’intervalle [1 ; +[ \left[ 1~;~ +\infty \right[ ainsi :

Intervalle non borné

Union et intersection

Définition

Soient II et JJ deux intervalles.

  • L'intersection de II et de JJ notée IJ I \cap J (lire « II inter JJ » ) est l'ensemble des nombres appartenant à la fois à II et à JJ.

  • L'union (ou la réunion de II et de JJ notée IJ I \cup J (lire « II union JJ » ) est l'ensemble des nombres appartenant à II ou à JJ ou aux deux intervalles.

Remarque

Retenir que l'intersection correspond au mot « et » et que la réunion correspond au mot « ou ».

Exemple

Si I=[3 ; 1[ I = \left[ - 3~;~1 \right[ et J=[0 ; 3] J= \left[ 0~;~3 \right] , II est représenté en bleu et JJ en rouge sur la figure suivante :

Intervalle union intersection

IJ=[0 ; 1[ I \cap J = \left[ 0~;~1 \right[ et IJ=[3 ; 3] I \cup J = \left[ - 3~;~3 \right]

III - Valeurs absolues

Intuitivement, la valeur absolue d'un nombre c'est « le nombre sans son signe. ». Par exemple, la valeur absolue de 5 - 5 est 55 et la valeur absolue de 1,12 1,12 est 1,12 1,12 . Toutefois, lors de calculs littéraux, le signe peut être « caché » à l'intérieur de la lettre ; par exemple, on ne peut pas dire que la valeur absolue de x - x est égale à x x car c'est faux si xx est négatif. D'où la définition suivante :

Définition

Soit xx un nombre réel On appelle valeur absolue de xx et on note x |x| le nombre réel positif ou nul défini par

  • x|x| = xx si xx est positif ou nul,

  • x|x| = x - x si xx est négatif ou nul.

Exemples

  • 1=(1)=1| - 1 | = - ( - 1) = 1

  • 21=21| \sqrt{ 2 } - 1 | = \sqrt{ 2 } - 1 car 2>1 \sqrt{ 2 } > 1 donc 21 \sqrt{ 2 } - 1 est positif.

Propriété

La distance entre les nombres réels xx et yy est égale à yx|y - x| (ou aussi à xy|x - y|).

En particulier, x \left| x \right| est la distance de xx à 00.

Exemple

Les nombres 3 - 3 et 22 sont représentés sur l'axe ci-dessous :

distance et valeur absolue

La distance entre 3 - 3 et 2 2 est égale à :

32=5=5| - 3 - 2|=| - 5|=5

La distance entre 3 - 3 et 0 0 est égale à :

3=3| - 3|=3