Ensembles de nombres - Intervalles - Valeurs absolues
I - Les ensembles de nombres
Définition
est l'ensemble des entiers naturels.
Remarque
On emploie le signe pour indiquer qu'un nombre appartient à un ensemble. On écrira par exemple: et .
Définition
est l'ensemble des entiers relatifs.
Définition
est l'ensemble des nombres décimaux. Les nombres décimaux peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (1; 10; 100; 1 000; ...).
Ils peuvent aussi s'écrire sous forme décimale dont le nombre de chiffres après la virgule est finie.
Remarques
"fini" signifie ici « qui n'est pas infini ».
Les calculatrices les plus simples ne manipulent que des nombres décimaux pour effectuer les calculs. Certaines permettent des opérations sur les fractions. Quelques modèles plus avancés (effectuant du "calcul formel") peuvent également effectuer des calculs avec des nombres irrationnels.
Définition
est l'ensemble des nombres rationnels. Les nombres rationnels peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers relatifs.
Définition
est l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels sont tous les nombres connus (en Seconde...).
Remarque
Les nombres réels qui ne sont pas rationnels (comme ou ) sont appelés des nombres irrationnels.
Propriété
.
Remarques
Le symbole se lit "inclus dans".
La proposition précédente signifie que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs qui sont eux-même des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels.
Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s'écrire 2,0 (écriture décimale) ou etc. (écriture fractionnaire) (écriture avec un radical) et même (aussi curieux que cela puisse vous paraitre) 1,999999.... (écriture décimale illimitée).
II - Intervalles
Intervalles bornés
Définition
Soient et deux nombres réels tels que .
L'intervalle fermé est l'ensemble des nombres réels tels que
L'intervalle ouvert est l'ensemble des nombres réels tels que
L'intervalle (fermé en , ouvert en ) est l'ensemble des nombres réels tels que
L'intervalle (ouvert en , fermé en ) est l'ensemble des nombres réels tels que
Exemple
Par exemple, l'intervalle est constitué des nombres réels qui sont à la fois supérieur ou égal à et strictement inférieur à .
On pourra, par exemple, écrire :
On peut représenter l’intervalle de la façon suivante :
Intervalles non bornés
Définition
Soit un nombre réel.
L'intervalle est l'ensemble des nombres réels tels que
L'intervalle est l'ensemble des nombres réels tels que
L'intervalle est l'ensemble des nombres réels tels que
L'intervalle est l'ensemble des nombres réels tels que
Remarque
En et en , le crochet est toujours ouvert.
Exemple
On représente l’intervalle ainsi :
Union et intersection
Définition
Soient et deux intervalles.
L'intersection de et de notée (lire « inter » ) est l'ensemble des nombres appartenant à la fois à et à .
L'union (ou la réunion de et de notée (lire « union » ) est l'ensemble des nombres appartenant à ou à ou aux deux intervalles.
Remarque
Retenir que l'intersection correspond au mot « et » et que la réunion correspond au mot « ou ».
Exemple
Si et , est représenté en bleu et en rouge sur la figure suivante :
et
III - Valeurs absolues
Intuitivement, la valeur absolue d'un nombre c'est « le nombre sans son signe. ». Par exemple, la valeur absolue de est et la valeur absolue de est . Toutefois, lors de calculs littéraux, le signe peut être « caché » à l'intérieur de la lettre ; par exemple, on ne peut pas dire que la valeur absolue de est égale à car c'est faux si est négatif. D'où la définition suivante :
Définition
Soit un nombre réel On appelle valeur absolue de et on note le nombre réel positif ou nul défini par
= si est positif ou nul,
= si est négatif ou nul.
Exemples
car donc est positif.
Propriété
La distance entre les nombres réels et est égale à (ou aussi à ).
En particulier, est la distance de à .
Exemple
Les nombres et sont représentés sur l'axe ci-dessous :
La distance entre et est égale à :
La distance entre et est égale à :