Introduction aux matrices

1. Définitions

Définition

Une matrice de dimension (ou d'ordre or de taille) $n\times p$ est un tableau de nombres réels (appelés coefficients ou termes) comportant $n$ lignes et $p$ colonnes.

Si on désigne par $a_{ij}$ le coefficient situé à la $i$ -ième ligne et la $j$ -ième colonne la matrice s'écrira :

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{np} \end{pmatrix}.$

Exemple

La matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ est une matrice de dimension $2\times 3$ .

Notations

On notera, en abrégé, $A=\left(a_{ij}\right)$ la matrice dont le coefficient situé à la $i$ -ème ligne et la $j$ -ième colonne est $a_{ij}$ .

Définitions

Une matrice carrée est une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.
Une matrice ligne est une matrice dont le nombre de lignes est égal à $1$ .
Une matrice colonne est une matrice dont le nombre de colonnes est égal à $1$ .

Exemples

La matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ est une matrice carrée (de dimension $2\times 2$ - ou on peut dire, plus simplement, de dimension 2).
La matrice $B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0,5 \end{pmatrix}$ est une matrice ligne (de dimension $1\times 3$ ).
La matrice $C=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ est une matrice colonne (de dimension $4\times 1$ ).

Remarque

Pour une matrice carrée, on appelle diagonale principale, la diagonale qui relie le coin situé en haut à gauche au coin situé en bas à droite. Sur l'exemple ci-dessous, les coefficients de la diagonale principale sont marqués en rouge :

$A=\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 3 & 4 \\ 2 & \color{red}{3} & 4 & 5 \\ 3 & 4 & \color{red}{5} & 6 \\ 4 & 5 & 6 & \color{red}{7} \end{pmatrix}$ .

Définitions

La matrice nulle de dimension $n\times p$ est la matrice de dimension $n\times p$ dont tous les coefficients sont nuls.
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tout les coefficients situés en dehors de la diagonale principale sont nuls.
La matrice unité de dimension $n$ est la matrice carrée de dimension $n$ qui contient des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs :
$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}$ .

Exemples

La matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ est une matrice diagonale d'ordre 4.
La matrice unité d'ordre 2 est $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

2. Opérations sur les matrices

Définition (Somme de matrices)

Soient $A$ et $B$ deux matrices de même dimension.

La somme $A+B$ des matrices $A$ et $B$ s'obtient en ajoutant les coefficients de $A$ aux coefficients de $B$ situés à la même position.

Exemple

Soient $A=\begin{pmatrix} 2 & - 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} - 1 & 1 & 1 \\ - 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Alors :

$A+B=\begin{pmatrix}2 - 1& - 2+1&1+1\\ - 1 - 2&1+2&0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& - 1&2\\ - 3&3&0\end{pmatrix}$ .

Remarques

On ne peut additionner deux matrices que si elles ont les même dimensions, c'est à dire le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
On définit de manière analogue la différence de deux matrices.

Définition (Produit d'une matrice par un nombre réel)

Soient $A$ une matrice et $k$ un nombre réel..

Le produit $kA$ est la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de $A$ par $k$ .

Exemple

Si $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ alors :

$2A=\begin{pmatrix} 2\times 1 & 2\times 1 & 2\times 0 \\ 2\times 2 & 2\times 0 & 2\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix}$ .
$- A= - 1\times A=\begin{pmatrix} - 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Propriétés

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois matrices de mêmes dimensions et $k$ et $k^{\prime}$ deux réels.

$A+B = B+A$ (commutativité de l'addition) ;
$\left(A+B\right)+C = A+\left(B+C\right)$ (associativité de l'addition) ;
$k\left(A+B\right) = kA+kB$ ;
$\left(k+k^{\prime}\right)A = kA+k^{\prime}A$ ;
$k\left(k^{\prime}A\right) = \left(kk^{\prime}\right)A$ .

Définition (Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne)

Soient $A=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)$ une matrice ligne $1\times n$ et $B=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix}$ une matrice colonne $n\times 1$ . Le produit de $A$ par $B$ est le nombre réel :

$A\times B = \left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)\times \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n}$ .

Remarque

Les deux matrices $A$ et $B$ doivent avoir le même nombre $n$ de coefficients.
Pour cette formule, la matrice ligne doit être impérativement en premier !

Exemple

Si $A=\left(1 2 3 4\right)$ et $B=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}$ :

$A\times B = 1\times 5 + 2\times 6 + 3\times 7 + 4\times 8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70$ .

Définition (Produit de deux matrices)

Soient $A=\left(a_{ij}\right)$ une matrice $n\times p$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ une matrice $p\times q$ . Le produit de $A$ par $B$ est la matrice $C=\left(c_{ij}\right)$ à $n$ lignes et $q$ colonnes dont le coefficient situé à la $i$ -ième ligne et la $j$ -ième colonne est obtenu en multipliant la $i$ -ième ligne de A par la $j$ -ième colonne de B.

C'est à dire que pour tout $1 \leqslant i \leqslant n$ et tout $1 \leqslant j \leqslant q$ :

$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}$ .

Remarque

Faites bien attention aux dimensions des matrices : Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde pour que le calcul soit possible.

Par exemple, le produit d'une matrice $2\times \color{red}{3}$ par une matrice $\color{red}{3}\times 4$ est possible et donnera une matrice $2\times 4$ .

Par contre, le produit d'une matrice $2\times \color{red}{3}$ par une matrice $\color{red}{2}\times 3$ n'est pas possible.

Exemple

Calculons le produit $C=A\times B$ avec :

$A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} - 1 & 0 & 2 \\ - 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Ce calcul est possible car le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ . Le résultat $C$ sera une matrice $2\times 3$ ( $\color{red}{2}\times 2$ par $2\times \color{red}{3} \rightarrow \color{red}{2}\times \color{red}{3}$ ).

Notons $C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \end{pmatrix}$ .

Pour calculer $c_{11}$ on multiplie la première ligne de $A$ et la première colonne de $B$ :

$C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \color{red}{ - 1} & 0 & 2 \\ \color{red}{ - 2} & 1 & 0\end{pmatrix}$ ;

on a donc $c_{11}=2\times \left( - 1\right)+4\times \left( - 2\right)= - 2 - 8= - 10$ .

$C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\color{red}{ - 1} & 0 & 2 \\ \color{red}{ - 2} & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{red}{ - 10} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}$ .

Pour calculer $c_{12}$ on multiplie la première ligne de $A$ et la seconde colonne de $B$ :

$C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} - 1 & \color{red}{0} & 2 \\ - 2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}$ ;

on a donc $c_{12}=2\times 0+4\times 1=0+4=4$ .

$C=\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} - 1 & \color{red}{0} & 2 \\ - 2 & \color{red}{1} & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - 10 & \color{red}{4} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}$ .

Et ainsi de suite...

Au final on trouve :

$C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} - 1 & 0 & 2 \\ - 2 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - 10 & 4 & 4 \\ - 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Dans ce qui suit, on s'intéressera principalement à des matrices carrées.

Propriété

Soit $A, B$ et $C$ , trois matrices carrées de même dimension.

$A\times \left(B+C\right) = A\times B + A\times C$ (distributivité à gauche)
$\left(A+B\right)\times C = A\times C + B\times C$ (distributivité à droite)
$A\times \left(B\times C\right) = \left(A\times B\right)\times C$ (associativité de la multiplication)

Par contre en général : $A\times B\neq B\times A$ : la multiplication n'est pas commutative.

Exemple

Soit $A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$A \times B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

tandis que :

$B \times A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Par conséquent $A\times B \neq B\times A$ .

Définition (Puissance d'une matrice)

Soit $A$ une matrice carrée et $n$ un entier naturel.

On note $A^{n}$ la matrice :

$A^{n}=A\times A\times \cdots.\times A$ ( $n$ facteurs).

Remarque

Par convention, on considèrera que $A^{0}$ est la matrice unité de même taille que $A$ .

Définition (Matrice inversible)

Une matrice carrée A de dimension $n$ est inversible si et seulement si il existe une

matrice $B$ telle que

$A\times B = B\times A = I_{n}$

où $I_{n}$ est la matrice unité de dimension $n$ .

La matrice $B$ est appelée matrice inverse de $A$ et notée $A^{ - 1}$ .

3. Résolution de systèmes d'équations

Soit le système :

$\left(S\right) \left\{ \begin{matrix} ax+by=s \\ cx+dy=t \end{matrix}\right.$

d'inconnues $x$ et $y$ .

Si l'on pose $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$ , le système $\left(S\right)$ peut s'écrire :

$A\times X=B$ . Le théorème ci-dessous permet alors de résoudre ce système.

Théorème

Soit $A$ une matrice carrée.

Si $A$ est inversible, le système $A\times X=B$ admet une solution unique donnée par :

$X=A^{ - 1}\times B$ .

Exemple

On cherche à résoudre le système :

$\left(S\right) \left\{ \begin{matrix} 3x+4y=1 \\ 5x+7y=2 \end{matrix}\right.$

Pour cela on pose : $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

L'écriture matricielle est alors $A\times X=B$ .

A la calculatrice, on trouve que $A$ est inversible d'inverse $A^{ - 1}=\begin{pmatrix} 7 & - 4 \\ - 5 & 3 \end{pmatrix}$ .

La solution du système est donné par :

$X=A^{ - 1}\times B=\begin{pmatrix} 7 & - 4 \\ - 5 & 3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

C'est à dire $x= - 1$ et $y=1$ .

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Définition

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3. Résolution de systèmes d'équations

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