Fonctions linéaires et fonctions affines
1. Fonctions linéaires
Définition
Une fonction linéaire est une fonction définie par une formule du type : .
s'appelle le coefficient directeur.
Exemple
La fonction qui à tout nombre réel associe son double est une fonction linéaire de coefficient directeur .
On la note : .
Propriété
Pour une fonction linéaire , les valeurs de sont proportionnelles aux valeurs de
Exemple
Voici un tableau de valeur de la fonction :
-3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
-6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Ce tableau est un tableau de proportionnalité.
Propriété
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par le point origine du repère.
Représentation graphique de la fonction linéaire
2. Fonctions affines
Définition
Une fonction affine est une fonction définie par une formule du type : .
s'appelle le coefficient directeur et s'appelle l'ordonnée à l'origine.
Remarques
Si , la fonction est linéaire. Les fonctions linéaires sont donc des cas particuliers des fonctions affines.
Exemple
La fonction est une fonction affine avec et
Théorème
Soit une fonction affine .
Pour tous nombres réels distincts et , le coefficient directeur est égal à :
Exercice corrigé
Déterminer la fonction affine telle et .
étant une fonction affine, la formule donnant est de la forme .
D'après le théorème précédent, le coefficient directeur est égal à :
On a donc
Pour trouver la valeur de , on utilise le fait que donc .
Par conséquent est définie par
Propriété
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
Remarque
Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points de cette droite. Il suffit donc de calculer les images de deux nombres pour tracer la représentation graphique d'une fonction affine.
Exemple
On veut tracer la représentation graphique de la fonction .
Cette représentation graphique est une droite.
comme , cette droite passe par le point
comme , cette droite passe par le point
On en déduit la représentation ci-dessous :
Représentation graphique de la fonction