Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Fonctions linéaires et affines

1. Fonctions linéaires

Définition

Une fonction linéaire est une fonction ff définie sur R\mathbb{R} par une formule du type : xaxx\mapsto axaRa \in \mathbb{R}.

aa s'appelle le coefficient de la fonction ff.

Remarque

La définition ci-dessus indique que si ff est une fonction linéaire, les valeurs de f(x)f\left(x\right) sont proportionnelles aux valeurs de xx, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient aa de la fonction ff.

Propriété

La courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère.

Exemple

fonction linéaire

Représentation graphique de la fonction linéaire x32xx\mapsto \frac{3}{2}x

Propriété

Soit ff une fonction linéaire.

Pour tous réels xx et xx^{\prime} : f(x+x)=f(x)+f(x) f\left(x+x^{\prime}\right)=f\left(x\right)+f\left(x^{\prime}\right)

Pour tous réels kk et xx : f(kx)=kf(x) f\left(kx\right)=kf\left(x\right)

2. Fonctions affines

Définition

Une fonction affine est une fonction définie sur R\mathbb{R} par une formule du type : xax+bx\mapsto ax+baRa \in \mathbb{R} et bRb \in \mathbb{R}.

Remarque

Si b=0b=0, la fonction est linéaire. Les fonctions linéaires sont donc des cas particuliers des fonctions affines.

Propriété

La courbe représentative d'une fonction affine est une droite.

aa est le coefficient directeur de la droite et bb son ordonnée à l'origine.

Exemple

fonction linéaire

Représentation graphique de la fonction affine x12x+2x\mapsto \frac{1}{2}x+2

Propriété

Soit ff une fonction affine de représentation graphique D\mathscr D et soient AA et BB deux points de D\mathscr D.

Le rapport yByAxBxA\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} ne dépend pas des points AA et BB choisis et est égal au coefficient directeur de la droite D\mathscr D :

a=yByAxBxAa = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

coefficient directeur

Coefficient directeur de D\mathscr{D} : a=yByAxBxA=1,53=0,5a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}=\dfrac{1,5}{3}=0,5

Théorème

Une fonction affine xax+bx \longmapsto ax+b est :

  • strictement croissante si aa est strictement positif.

  • strictement décroissante si aa est strictement négatif.

  • constante si aa est nul.

Démonstration

Démontrons, par exemple, que la fonction f:xax+bf : x\mapsto ax+b est strictement décroissante si a<0a < 0.

Soient deux réels x1x_1 et x2x_2 tels que x1<x2x_1 < x_2

Alors ax1>ax2ax_1 > ax_2 (on change le sens de l'inégalité car on multiplie par un réel négatif) donc

ax1+b>ax2+bax_1+b > ax_2+b c'est à dire :

f(x1)>f(x2)f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right)

Le sens de l'inégalité est inversé donc ff est strictement décroissante sur R\mathbb{R}.

Remarque

Ce théorème s'applique aussi aux fonctions linéaires puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières.