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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Continuité, dérivées, connexité

1. Fonctions continues

Définition

Une fonction définie sur un intervalle II est continue sur II si l'on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon

Exemples

  • Les fonctions polynômes sont continues sur R\mathbb{R}.

  • Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle contenu dans leur ensemble de définition.

  • La fonction racine carrée est continue sur R+\mathbb{R}^+.

  • Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R\mathbb{R}.

Théorème

Si ff et gg sont continues sur II, les fonctions f+gf+g, kfkf ( k∈Rk\in \mathbb{R} ) et f×gf\times g sont continues sur II.

Si, de plus, gg ne s'annule pas sur II, la fonction fg\frac{f}{g}, est continue sur II.

Théorème (lien entre continuité et dérivabilité)

Toute fonction dérivable sur un intervalle II est continue sur II.

Remarque

Attention ! La réciproque est fausse.

Par exemple, la fonction valeur absolue (x↦∣x∣x\mapsto |x|) est continue sur R\mathbb{R} tout entier mais n'est pas dérivable en 0.

Propriété (lien entre continuité et limite)

Si ff est une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a ; b\right], alors pour tout α∈[a;b]\alpha \in \left[a ; b\right] :

limx→αf(x)=limx→α−f(x)=limx→α+f(x)=f(α)\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \alpha ^ - }f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \alpha ^+}f\left(x\right)=f\left(\alpha \right).

Exemple

Montrons à l'aide de cette propriété que la fonction «partie entière» (notée x↦E(x)x\mapsto E\left(x\right)), qui à tout réel xx associe le plus grand entier inférieur ou égal à xx, n'est pas continue en 11.

Si xx est un réel positif et strictement inférieur à 11, sa partie entière vaut 00.

Donc limx→1−E(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow 1^ - }E\left(x\right)=0.

Par ailleurs, la partie entière de 11 vaut 11 c'est à dire E(1)=1E\left(1\right)=1.

Donc limx→1−E(x)≠E(1)\lim\limits_{x\rightarrow 1^ - }E\left(x\right)\neq E\left(1\right).

La fonction « partie entière » n'est donc pas continue en 11 (en fait, elle est discontinue en tout point d'abscisse entière).

limite nulle

Fonction « partie entière »

2. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Si ff est une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] et si y0y_{0} est compris entre f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right), alors l'équation f(x)=y0f\left(x\right)=y_{0} admet au moins une solution sur l'intervalle [a;b]\left[a ; b\right].

Remarques

  • Ce théorème dit que l'équation f(x)=y0f\left(x\right)=y_{0} admet une ou plusieurs solutions mais ne permet pas de déterminer le nombre de ces solutions. Dans les exercices où l'on recherche le nombre de solutions, il faut utiliser le corollaire ci-dessous.

  • Cas particulier fréquent : Si ff est continue et si f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right) sont de signes contraires, l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet au moins une solution sur l'intervalle [a;b]\left[a ; b\right] (en effet, si f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right) sont de signes contraires, 00 est compris entre f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right)).

Corollaire (du théorème des valeurs intermédiaires)

Si ff est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b]\left[a ; b\right] et si y0y_{0} est compris entre f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right), l'équation f(x)=y0f\left(x\right)=y_{0} admet une unique solution sur l'intervalle [a;b]\left[a ; b\right].

Remarques

  • Ce dernier théorème est aussi parfois appelé "Théorème de la bijection"

  • Il faut vérifier 3 conditions pour pouvoir appliquer ce corollaire:

    • ff est continue sur [a;b]\left[a ; b\right] ;

    • ff est strictement croissante ou strictement décroissante sur [a;b]\left[a ; b\right] ;

    • y0y_{0} est compris entre f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right).

  • Les deux théorèmes précédents se généralisent à un intervalle ouvert ]a;b[\left]a ; b\right[ où aa et bb sont éventuellement infinis. Il faut alors remplacer f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right) (qui ne sont alors généralement pas définis) par limx→af(x)\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) et limx→bf(x)\lim\limits_{x\rightarrow b}f\left(x\right)

Exemple

Soit une fonction ff définie sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ dont le tableau de variation est fourni ci-dessous :

On cherche à déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=−1f\left(x\right)= - 1.

L'unique flèche oblique montre que la fonction ff est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.

−1 - 1 est compris entre limx→0f(x)=−∞\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left(x\right)= - \infty et limx→+∞f(x)=1\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=1.

Par conséquent, l'équation f(x)=−1f\left(x\right)= - 1 admet une unique solution sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[.

3. Calcul de dérivées

Le tableau ci-dessous recense les dérivées usuelles à connaitre en Terminale S. Pour faciliter les révisions, toutes les formules du programme ont été recensées ; certaines seront étudiées dans les chapitres ultérieurs.

Dérivée des fonctions usuelles

Fonction Dérivée Ensemble de dérivabilité
kk (k∈R)\left(k\in \mathbb{R}\right) 00 R\mathbb{R}
xx 11 R\mathbb{R}
xnx^{n} (n∈N)\left(n\in \mathbb{N}\right) nxn−1nx^{n - 1} R\mathbb{R}
1xn\frac{1}{x^{n}} (n∈N)\left(n\in \mathbb{N}\right) −nxn+1 - \frac{n}{x^{n+1}} R−{0}\mathbb{R} - \left\{0\right\}
x\sqrt{x} 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[
sin(x)\sin\left(x\right) cos(x)\cos\left(x\right) R\mathbb{R}
cos(x)\cos\left(x\right) −sin(x) - \sin\left(x\right) R\mathbb{R}
exe^{x} exe^{x} R\mathbb{R}
ln(x)\ln\left(x\right) 1x\frac{1}{x} ]0;−∞[\left]0; - \infty \right[

Propriété

Soient une fonction ff définie et dérivable sur un certain intervalle et aa et bb deux réels.

Alors la fonction g:x↦f(ax+b)g : x\mapsto f\left(ax+b\right) est dérivable là où elle est définie et :

g′(x)=af′(ax+b)g^{\prime}\left(x\right)=af^{\prime}\left(ax+b\right).

Exemples

  • La fonction f:x↦(5x+2)3f : x\mapsto \left(5x+2\right)^{3} est définie et dérivable sur R\mathbb{R} et :

    f′(x)=5×3(5x+2)2=15(5x+2)2f^{\prime}\left(x\right)=5\times 3\left(5x+2\right)^{2}=15\left(5x+2\right)^{2}.

  • En particulier, si g(x)=f(−x)g\left(x\right)=f\left( - x\right) on a g′(x)=−f′(−x)g^{\prime}\left(x\right)= - f^{\prime}\left( - x\right).

    Par exemple la dérivée de la fonction x↦e−xx\mapsto e^{ - x} est la fonction x↦−e−xx\mapsto - e^{ - x}.

Remarque

Le résultat précédent se généralise à l'aide du théorème suivant :

Théorème (dérivées des fonctions composées)

Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II et prenant ses valeurs dans un intervalle JJ et soit ff une fonction dérivable sur JJ.

Alors la fonction g:x↦f(u(x))g : x\mapsto f\left(u\left(x\right)\right) est dérivable sur II et :

g′(x)=u′(x)×f′(u(x)).g^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)\times f^{\prime}\left(u\left(x\right)\right).

Exemples

Soit uu une fonction dérivable sur intervalle II :

  • la fonction unu^{n} est dérivable sur II et sa dérivée est u′×nun−1u^{\prime}\times nu^{n - 1} ;

  • la fonction 1u\frac{1}{u} est dérivable sur la partie de II où u≠0u\neq 0 et sa dérivée est −u′u2 - \frac{u^{\prime}}{u^{2}} ;

  • la fonction u\sqrt{u} est dérivable sur la partie de II où u>0u > 0 et sa dérivée est u′2u\frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}} ;

  • la fonction sin(u)\sin\left(u\right) est dérivable sur II et sa dérivée est u′×cos(u)u^{\prime}\times \cos\left(u\right) ;

  • la fonction cos(u)\cos\left(u\right) est dérivable sur II et sa dérivée est −u′×sin(u) - u^{\prime}\times \sin\left(u\right) ;

  • la fonction eue^{u} est dérivable sur II et sa dérivée est u′×euu^{\prime}\times e^{u} ;

  • la fonction ln(u)\ln\left(u\right) est dérivable sur la partie de II où u>0u > 0 et sa dérivée est u′u\frac{u^{\prime}}{u}.

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