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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Les fonctions valeur absolue et racine carrée

I - La fonction valeur absolue

Définition

La fonction valeur absolue notée x↦∣x∣ x \mapsto |x| est définie sur R\mathbb{R} par

  • ∣x∣|x| = xx si xx est positif ou nul,

  • ∣x∣|x| = −x - x si xx est négatif ou nul.

Remarque

  • −x - x est l'opposé de xx. Attention, toutefois, à ne pas vous laisser abuser par cette notation: −x - x n'est pas forcément négatif : −x - x est négatif si xx est positif mais il est positif si xx est négatif. Par exemple −(−5) - \left( - 5\right) est positif !

Propriété

La distance entre les nombres réels xx et yy est égale à ∣y−x∣|y - x| (ou aussi à ∣x−y∣|x - y|).

Exemple

distance et valeur absolue

AB=∣5−(−3)∣=∣8∣=8AB=|5 - ( - 3)|=|8|=8
BA=∣−3−(+5)∣=∣−8∣=8.BA=| - 3 - (+5)|=| - 8|=8.

Propriété

La fonction valeur absolue est :

  • strictement décroissante sur ]−∞;0]\left] - \infty ; 0\right] ;

  • strictement croissante sur [0;+∞[\left[0 ; +\infty \right[.

Tableau de variations

Tableau de variation de la fonction valeur absolue

Tableau de variation de la fonction valeur absolue

Courbe représentative

Fonction valeur absolue : graphique

Graphique de la fonction valeur absolue

Propriété

La courbe représentative de la fonction x↦∣x∣x \mapsto |x|, dans un repère orthonormé, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

II - La fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ par f(x)=xf\left(x\right)=\sqrt{x}.

Propriété

La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[.

Tableau de variations

Fonction racine carrée: tableau de variation

Tableau de variation de la fonction racine carrée

Courbe représentative

Fonction racine carrée : graphique

Graphique de la fonction racine carrée

Remarque

La courbe représentative de la fonction racine carrée est une demi-parabole.

Propriété

Pour tout x∈Rx\in \mathbb{R} :

x2=∣x∣\sqrt{x^{2}}=|x|.

Exemple

  • 32=9=3\sqrt{3^{2}}=\sqrt{9}=3 ;

  • (−3)2=9=3\sqrt{\left( - 3\right)^{2}}=\sqrt{9}=3.

Remarque

Ne pas confondre :

  • x2\sqrt{x^{2}} qui est défini pour tout x∈Rx\in \mathbb{R} (ce qui est sous le radical est x2x^{2} donc toujours positif) et est égal à ∣x∣|x| ;

  • (x)2\left(\sqrt{x}\right)^{2} qui n'est défini que pour x⩾0x \geqslant 0 (ce qui est sous le radical est xx).

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