Fonction exponentielle en Terminale S
1. Définition de la fonction exponentielle
Théorème et Définition
Il existe une unique fonction [latex]f[/latex] dérivable sur [latex]\mathbb{R}[/latex] telle que [latex]f^{\prime}=f[/latex] et [latex]f\left(0\right)=1[/latex]
Cette fonction est appelée fonction exponentielle (de base e) et notée [latex]\text{exp}[/latex].
Remarque
L'existence d'une telle fonction est admise.
Son unicité est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle
Notation
On note [latex]\text{e}=\text{exp}\left(1\right)[/latex].
On démontre que pour tout entier relatif [latex]n \in \mathbb{Z}[/latex] : [latex]\text{exp}\left(n\right)=\text{e}^{n}[/latex]
Cette propriété conduit à noter [latex]\text{e}^{x}[/latex] l'exponentielle de [latex]x[/latex] pour tout [latex]x \in \mathbb{R}[/latex]
Remarque
On démontre (mais c'est hors programme) que [latex]\text{e} \left(\approx 2,71828 . . . \right)[/latex] est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
2. Etude de la fonction exponentielle
Propriété
La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur [latex]\mathbb{R}[/latex].
Remarque
Cette propriété très importante est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle
Propriété
Soit [latex]u[/latex] une fonction dérivable sur un intervalle [latex]I[/latex].
Alors la fonction [latex] f : x\mapsto \text{e}^{u\left(x\right)}[/latex] est dérivable sur [latex]I[/latex] et :
[latex]f^{\prime}=u^{\prime}\text{e}^{u}[/latex]
Démonstration
On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées.
Exemple
Soit [latex]f[/latex] définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] par [latex]f\left(x\right)=\text{e}^{-x}[/latex]
[latex]f[/latex] est dérivable sur [latex]\mathbb{R}[/latex] et [latex]f^{\prime}\left(x\right)=-\text{e}^{-x}[/latex]
Limites
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\text{e}^{x}=0[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty [/latex]
Remarques
Ces résultats sont démontrés dans l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle
On déduit des résultats précédents le tableau de variation et l'allure de la courbe de la fonction exponentielle:
Tableau de variation de la fonction exponentielle
Graphique de la fonction exponentielle
Théorème ( «Croissance comparée»)
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\text{e}^{x}=0[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty [/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{x}-1}{x}=1[/latex]
Remarques
Voir, à nouveau, l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle pour la démonstration des deux premières formules.
Les deux premières formules peuvent se généraliser de la façon suivante :
Pour tout entier [latex]n > 0[/latex] :
[latex] \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{n}\text{e}^{x}=0[/latex]
[latex] \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\text{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty [/latex]
La troisième formule s'obtient en utilisant la définition du nombre dérivé pour x=0 : (voir Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé).
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{x}-1}{x}=\text{exp}^{\prime}\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)=1[/latex]
Théorème
La fonction exponentielle étant strictement croissante, si [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] sont deux réels :
[latex]\text{e}^{a}=\text{e}^{b}[/latex] si et seulement si [latex]a=b[/latex]
[latex]\text{e}^{a} < \text{e}^{b}[/latex] si et seulement si [latex] a < b [/latex]
Remarque
Ces résultats sont extrêmement utiles pour résoudre équations et inéquations.
3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Propriétés
Pour tout réels [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] et tout entier [latex]n \in \mathbb{Z}[/latex] :
[latex]\text{e}^{a+b}=\text{e}^{a} \times \text{e}^{b}[/latex]
[latex]\text{e}^{-a}=\frac{1}{\text{e}^{a}}[/latex]
[latex]\text{e}^{a-b}=\frac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}}[/latex]
[latex]\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na}[/latex]
Remarques
Ces propriétés sont démontrées dans l'exercice : [ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Elles sont similaires aux propriétés des puissances vues au collège (et justifient la notation [latex]\text{e}^{x}[/latex])
Si l'on pose [latex]a=\frac{1}{2}[/latex] et [latex]n=2[/latex] dans la formule [latex]\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na}[/latex] on obtient [latex]\left(\text{e}^{^{\frac{1}{2}}}\right)^{2}=\text{e}^{1}=\text{e}[/latex] donc comme [latex]\text{e}^{^{\frac{1}{2}}} > 0[/latex] : [latex]\text{e}^{^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\text{e}}[/latex]