Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Nombre dérivé - Fonction dérivée

1. Nombre dérivé

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et soient 2 réels x0x_{0} et h≠0h\neq 0 tels que x0∈Ix_{0} \in I et x0+h∈Ix_{0}+h \in I.

Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de la fonction ff entre x0x_{0} et x0+hx_{0}+h est le nombre :

T=f(x0+h)−f(x0)hT=\frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h}

Définition

Une fonction ff est dérivable en x0x_{0} si et seulement si le nombre f(x0+h)−f(x0)h\frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} a pour limite un certain réel ll lorsque hh tend vers 0.

ll est appelée nombre dérivé de ff en x0x_{0}, on le note f′(x0)f^{\prime}\left(x_{0}\right).

On écrit : f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)hf^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h}.

Remarques

  • Le quotient f(x0+h)−f(x0)h\frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} est le taux d'accroissement de ff entre x0x_{0} et x0+hx_{0}+h.

  • « le nombre f(x0+h)−f(x0)h\frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} a pour limite un certain réel ll lorsque hh tend vers 0 » signifie que f(x0+h)−f(x0)h\frac{f\left(x_{0}+h\right) - f\left(x_{0}\right)}{h} se rapproche de ll lorsque hh se rapproche de 0.

    Une définition plus rigoureuse de la notion de limite sera vue en Terminale.

  • On peut également définir le nombre dérivé de la façon suivante:

    f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right) - f\left(x_{0}\right)}{x - x_{0}}

    (cela correspond au changement de variable x=x0+hx=x_{0}+h)

Exemple

Calculons le nombre dérivé de la fonction f:x↦x2f : x \mapsto x^{2} pour x=1x=1.

Ce nombre se note f′(1)f^{\prime}\left(1\right) et vaut :

f′(1)=limh→0(1+h)2−12h=limh→02h+h2h=limh→02+hf^{\prime}\left(1\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\left(1+h\right)^{2} - 1^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2h+h^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}2+h

Or quand hh tend vers 0, 2+h2+h tend vers 2; donc f′(1)=2f^{\prime}\left(1\right)=2.

Remarque:

Interprétation graphique du nombre dérivé :

nombre dérivé

Soit Cf\mathscr{C}_f la courbe représentative de la fonction ff.

Lorsque hh tend vers 0, BB "se rapproche" de AA et la droite (AB)\left(AB\right) se rapproche de la tangente T\mathscr{T}.

Le nombre dérivée f′(x0)f^{\prime}\left(x_{0}\right) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf\mathscr{C}_f au point d'abscisse x0x_{0}.

Propriété

Soit ff une fonction dérivable en x0x_{0} de courbe représentative Cf\mathscr{C}_f, l'équation de la tangente à Cf\mathscr{C}_f au point d'abscisse x0x_{0} est :

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x - x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)

Démonstration

D'après la propriété précédente, la tangente à Cf\mathscr{C}_f au point d'abscisse x0x_{0} est une droite de coefficient directeur f′(x0)f^{\prime}\left(x_{0}\right). Son équation est donc de la forme :

y=f′(x0)x+by=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x+b

On sait que la tangente passe par le point AA de coordonnées (x0;f(x0))\left(x_{0}; f\left(x_{0}\right)\right) donc :

f(x0)=f′(x0)x0+bf\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+b

b=−f′(x0)x0+f(x0)b= - f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right)

L'équation de la tangente est donc :

y=f′(x0)x−f′(x0)x0+f(x0)y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x - f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right)

Soit :

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x - x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)

2. Fonction dérivée

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. On dit que ff est dérivable sur II si et seulement si pour tout x∈Ix \in I, le nombre dérivé f′(x)f^{\prime}\left(x\right) existe.

La fonction qui à x∈Ix \in I associe le nombre dérivé de ff en xx s'appelle la fonction dérivée et se note f′f^{\prime}

Propriétés

Dérivée des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée Ensemble de dérivabilité
kk (k∈R)\left(k\in \mathbb{R}\right) 00 R\mathbb{R}
xx 11 R\mathbb{R}
xnx^{n} (n∈N)\left(n\in \mathbb{N}\right) nxn−1nx^{n - 1} R\mathbb{R}
1xn\frac{1}{x^{n}} (n∈N)\left(n\in \mathbb{N}\right) −nxn+1 - \frac{n}{x^{n+1}} R−{0}\mathbb{R} - \left\{0\right\}
x\sqrt{x} 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[

Propriétés

Formules de base :

Si uu et vv sont 2 fonctions dérivables sur un intervalle II. Sur cet intervalle :

Fonction Dérivée
u+vu+v u′+v′u^{\prime}+v^{\prime}
kuku (k∈R)\left(k\in \mathbb{R}\right) ku′ku^{\prime}
1u\frac{1}{u} (avec u(x)≠0u\left(x\right)\neq 0 sur II) −u′u2 - \frac{u^{\prime} }{u^{2}}
uvuv u′v+uv′u^{\prime}v+uv^{\prime}
uv\frac{u}{v} (avec v(x)≠0v\left(x\right)\neq 0 sur II) u′v−uv′v2\frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^{2}}
u\sqrt{u} (avec u⩾0u\geqslant 0 sur II) u′2u\frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}} lorsque u>0u > 0

Exemple

On cherche à calculer la dérivée de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=xx2+1f\left(x\right)=\frac{x}{x^{2}+1}

On pose

u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=x2+1v\left(x\right)=x^{2}+1

On a alors

u′(x)=1u^{\prime}\left(x\right)=1

v′(x)=2xv^{\prime}\left(x\right)=2x

car la dérivée de la fonction x↦x2x \mapsto x^{2} est la fonction x↦2xx \mapsto 2x (formule nxn−1nx^{n - 1} avec n=2n=2) et la dérivée de la fonction constante x↦1x \mapsto 1 est la fonction nulle.

La dérivée du quotient est donc :

f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2=1×(x2+1)−x×2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2f^{\prime}\left(x\right)=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right) - u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\frac{1\times \left(x^{2}+1\right) - x\times 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{1 - x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Remarques

  • Si le dénominateur d'une fraction est constant, il est très maladroit d'utiliser la formule

    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^{2}}.

    Par exemple pour dériver f(x)=x2+15f\left(x\right)=\frac{x^{2}+1}{5} on écrira :

    f(x)=15×(x2+1)f\left(x\right)=\frac{1}{5}\times \left(x^{2}+1\right)

    donc f′(x)=15×(2x)f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{5}\times \left(2x\right) (formule (ku)′=ku′\left(ku\right)^{\prime}=ku^{\prime})

    f′(x)=2x5f^{\prime}\left(x\right)=\frac{2x}{5}

  • De même, si le numérateur d'une fraction est constant on utilisera, de préférence, la formule :

    (1u)′=−u′u2\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}= - \frac{u^{\prime}}{u^{2}}

    Par exemple, si f(x)=5x2+1f\left(x\right)=\frac{5}{x^{2}+1}

    f(x)=5×1x2+1f\left(x\right)=5\times \frac{1}{x^{2}+1} donc :

    f′(x)=5×(−2x(x2+1)2)=−10x(x2+1)2f^{\prime}\left(x\right)=5\times \left( - \frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)= - \frac{10x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} (formule (1u)′=−u′u2\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}= - \frac{u^{\prime}}{u^{2}} avec u(x)=x2+1u\left(x\right)=x^{2}+1 donc u′(x)=2xu^{\prime}\left(x\right)=2x)

3. Fonction dérivée et sens de variations

Théorème

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II.

  • ff est croissante sur II si et seulement si f′(x)⩾0f^{\prime}\left(x\right)\geqslant 0 pour tout x∈Ix \in I

  • ff est décroissante sur II si et seulement si f′(x)⩽0f^{\prime}\left(x\right)\leqslant 0 pour tout x∈Ix \in I

Remarque

Si f′(x)>0f^{\prime}\left(x\right) > 0 (resp. f′(x)<0f^{\prime}\left(x\right) < 0) sur II, alors ff est strictement croissante (resp. décroissante) sur II.

Mais la réciproque est fausse. Une fonction peut être strictement croissante sur II alors que sa dérivée s'annule sur II. C'est le cas par exemple de la fonction x↦x3x \mapsto x^{3} qui est strictement croissante sur R\mathbb{R} alors que sa dérivée x↦3x2x \mapsto 3x^{2} s'annule pour x=0x=0

Exemple

Reprenons la fonction de l'exemple précédent.

f(x)=xx2+1f\left(x\right)=\frac{x}{x^{2}+1}

f′(x)=1−x2(x2+1)2f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1 - x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Le dénominateur de f′(x)f^{\prime}\left(x\right) est toujours strictement positif.

Le numérateur de f′(x)f^{\prime}\left(x\right) peut se factoriser : 1−x2=(1−x)(1+x)1 - x^{2}=\left(1 - x\right)\left(1+x\right)

Une facile étude de signe montre que f′f^{\prime} est strictement négative sur ]−∞;−1[\left] - \infty ; - 1\right[ et ]1;+∞[\left]1 ; +\infty \right[ et est strictement positive sur ]−1;1[\left] - 1 ; 1\right[.

Par ailleurs, f(−1)=−12f\left( - 1\right)= - \frac{1}{2} et f(1)=12f\left(1\right)=\frac{1}{2}

On en déduit le tableau de variations de ff (que l'on regroupe habituellement avec le tableau de signe de f′f^{\prime}) :

Dérivée et tableau de variations

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices

QCM

Quiz