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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Etude de fonctions

I - Généralités sur les fonctions

Définition

Une fonction [latex]f[/latex] associe, à tout nombre réel [latex]x[/latex] d'une partie [latex]D[/latex] de [latex]\mathbb{R}[/latex], un unique nombre réel [latex]y[/latex]. [latex]y[/latex] s'appelle l'image de [latex]x[/latex] par la fonction [latex]f[/latex] et se note [latex]f\left(x\right)[/latex]

Définition

L'ensemble [latex]D[/latex] des éléments [latex]x[/latex] de [latex]\mathbb{R}[/latex] qui possèdent une image par [latex]f[/latex] s'appelle l'ensemble de définition de [latex]f[/latex].

Définition

La courbe représentative de la fonction [latex]f[/latex] est l'ensemble des points du plan [latex]\mathscr P[/latex] dont les coordonnées [latex]\left(x; y\right)[/latex] vérifient l'égalité [latex]y=f\left(x\right)[/latex].

Remarque

Cette définition est importante car elle établit un lien entre la courbe représentative d'une fonction et la formule définissant la fonction. Elle permet de déterminer notamment si un point appartient à la courbe représentative d'une fonction.

Par exemple si [latex]f[/latex] est la fonction définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] par [latex]f\left(x\right)=x^{2}+1[/latex], le point [latex]A\left(1;2\right)[/latex] appartient à courbe représentative de [latex]f[/latex] car [latex]f\left(1\right)=1^{2}+1=2[/latex]. Par contre le point [latex]B\left(2;4\right)[/latex] n'y appartient pas car [latex]f\left(2\right)=5\neq 4[/latex].

Définitions

  • La fonction [latex]f[/latex] est croissante sur l'intervalle [latex]I[/latex] si et seulement si pour tous réels [latex]x_{1}[/latex] et [latex]x_{2}[/latex] de [latex]I[/latex] tels que [latex]x_{1} \leqslant x_{2}[/latex] on a [latex]f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right)[/latex].

  • La fonction [latex]f[/latex] est décroissante sur l'intervalle [latex]I[/latex] si et seulement si pour tous réels [latex]x_{1}[/latex] et [latex]x_{2}[/latex] de [latex]I[/latex] tels que [latex]x_{1} \leqslant x_{2}[/latex] on a [latex]f\left(x_{1}\right) \geqslant f\left(x_{2}\right)[/latex].

Fonctions croissante et décroissante

Définitions

Soit [latex]I[/latex] un intervalle et [latex]x_{0} \in I[/latex].

  • La fonction [latex]f[/latex] admet un maximum en [latex]x_{0}[/latex] sur l'intervalle [latex]I[/latex] si et seulement si pour tout réel [latex]x[/latex] de [latex]I[/latex], [latex]f\left(x\right) \leqslant f\left(x_{0}\right)[/latex]. Le maximum de la fonction [latex]f[/latex] sur [latex]I[/latex] est alors [latex]M=f\left(x_{0}\right)[/latex]

  • La fonction [latex]f[/latex] admet un minimum en [latex]x_{0}[/latex] sur l'intervalle [latex]I[/latex] si et seulement si pour tout réel [latex]x[/latex] de [latex]I[/latex], [latex]f\left(x\right) \geqslant f\left(x_{0}\right)[/latex]. Le minimum de la fonction [latex]f[/latex] sur [latex]I[/latex] est alors [latex]m=f\left(x_{0}\right)[/latex]

II - La fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est la fonction définie sur [latex]\left[0;+\infty \right[[/latex] par [latex]f\left(x\right)=\sqrt{x}[/latex]

Propriété

La fonction racine carrée est strictement croissante sur [latex]\left[0;+\infty \right[[/latex]

Fonction racine carrée: tableau de variation

Tableau de variation de la fonction racine carrée

Fonction  racine carrée  : graphique

Graphique de la fonction racine carrée

Remarque

La courbe représentative de la fonction racine carrée est une demi-parabole

III - La fonction cube

Définition

La fonction cube est la fonction définie sur [latex]\left]-\infty ;+\infty \right[[/latex] par [latex]f\left(x\right)=x^{3}[/latex]

Propriété

La fonction cube est strictement croissante sur [latex]\left]-\infty ;+\infty \right[[/latex]

tableau de variation de la fonction cube

Tableau de variation de la fonction cube

Fonction  racine carrée  : graphique

Graphique de la fonction cube

Remarques

  • Comme la fonction [latex]x\mapsto x^{3}[/latex] est strictement croissante sur [latex]\mathbb{R}[/latex] :

    [latex]a > b \Leftrightarrow a^{3} > b^{3}[/latex]

  • En particulier [latex]x > 0 \Leftrightarrow x^{3} > 0[/latex]

    Autrement dit, le cube d'un nombre positif est positif et le cube d'un nombre négatif est négatif.

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