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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Droites et plans dans l'espace

1. Rappels sur les droites et plans

Propriété

Par deux points distincts de l'espace, il passe une et une seule droite.

Remarque

Dans les exercices où l'on cherche à déterminer une droite (par exemple, pour tracer l'intersection de deux plans), il suffira donc de trouver deux points distincts qui appartiennent à cette droite.

Propriété

Par trois points distincts et non alignés de l'espace, il passe un et un seul plan.

Positions relatives de deux plans

Deux plans distincts de l'espace peuvent être :

  • strictement parallèles : dans ce cas, ils n'ont aucun point commun

  • sécants : dans ce cas, leur intersection est une droite

Plans parallèles

Plans parallèles

Plans sécants

Positions relatives d'une droite et d'un plan

Soient D\mathscr D une droite et P\mathscr P un plan de l'espace.

La droite D\mathscr D peut être :

  • strictement parallèle au plan P\mathscr P : dans ce cas, D\mathscr D et P\mathscr P n'ont aucun point commun

  • sécante avec le plan P\mathscr P : dans ce cas, D\mathscr D et P\mathscr P ont un unique point commun

  • contenue dans le plan P\mathscr P

Droite strictement parallèle à un plan

Droite sécante à un plan

Droite contenue (incluse) dans un plan

Positions relatives de deux droites

Soient D\mathscr D et D′\mathscr D^{\prime} deux droites distinctes de l'espace.

Ces droites peuvent être :

  • non coplanaires : dans ce cas, elles n'ont aucun point commun

  • coplanaires, c'est à dire contenues dans un même plan ; elles peuvent alors être :

    • strictement parallèles : dans ce cas, elles n'ont aucun point commun

    • sécantes : dans ce cas, leur intersection est un point

Droites non coplanaires

Droites strictement parallèles

Droites sécantes

2. Parallélisme

Propriété

Si un plan P1\mathscr P_{1} contient deux droites sécantes D\mathscr D et D′\mathscr D^{\prime} parallèles à un plan P2\mathscr P_{2}, alors le plan P1\mathscr P_{1} est parallèle au plan P2\mathscr P_{2}. .

Propriété

Si deux plans P1\mathscr P_{1} et P2\mathscr P_{2} sont parallèles, alors tout plan P\mathscr P sécant à P1\mathscr P_{1} est sécant à P2\mathscr P_{2} et leurs intersections sont deux droites parallèles.

Propriété (Théorème du toit)

Si P1\mathscr P_{1} et P2\mathscr P_{2} sont deux plans sécants et si une droite D1\mathscr D_{1} incluse dans P1\mathscr P_{1} est parallèle à une droite D2\mathscr D_{2} incluse dans P2\mathscr P_{2} alors la droite D\mathscr D intersection de P1\mathscr P_{1} et P2\mathscr P_{2} est parallèle à D1\mathscr D_{1} et D2\mathscr D_{2}.

3. Vecteurs de l'espace

Définition (vecteurs colinéaires)

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls de l'espace. On dit que les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si et seulement si il existe un réel kk tel que u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}

Remarques

  • Par convention, on considèrera que le vecteur nul 0→\overrightarrow{0} est colinéaire a n'importe quel vecteur de l'espace

  • Intuitivement, deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même «direction» (mais pas nécessairement le même «sens»). La notion de vecteurs colinéaires est à rapprocher de la notion de droites parallèles (voir théorème ci-dessous).

Propriété

Soient quatre points distincts AA, BB, CC et DD.

Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Propriété

Soient deux points distincts AA et BB.

Un point MM appartient à la droite (AB)\left(AB\right) si et seulement si les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires.

Remarque

Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} où AA et BB sont deux points distincts de la droite D\mathscr D est appelé vecteur directeur de D\mathscr D.

Définition (vecteurs coplanaires)

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls et non colinéaires. On dit que le vecteur w⃗\vec{w} est coplanaires à u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} si et seulement si il existe deux réels kk et k′k^{\prime} tels que :

w⃗=ku⃗+k′v⃗\vec{w}=k\vec{u}+k^{\prime}\vec{v}

Remarques

  • Intuitivement, le fait que u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} soient coplanaires signifie que si on choisit quatre points O,A,B,CO, A, B, C tels que u⃗=OA→,v⃗=OB→\vec{u}=\overrightarrow{OA}, \vec{v}=\overrightarrow{OB} et w⃗=OC→\vec{w}=\overrightarrow{OC} alors les points O,A,BO, A, B et CC appartiennent à un même plan.

    (sur la figure ci-dessus w⃗=12u⃗+v⃗\vec{w}=\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v})

  • La définition précédente peut se généraliser à plus de trois vecteurs. Pour deux vecteurs, par contre, elle n'a guère d'intérêt car deux vecteurs sont toujours coplanaires

  • Pour des vecteurs ou des points coplanaires, on peut se placer dans le plan contenant ces points ou ces vecteurs et appliquer les résultats classiques de géométrie plane (théorème des milieux, théorème de Thalès, relation de Chasles, etc.)

Propriété

Soient A,B,CA, B, C trois points non alignés.

Le point MM appartient au plan (ABC)\left(ABC\right) si et seulement si les vecteurs AB→,AC→\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} et AM→\overrightarrow{AM} sont coplanaires, c'est à dire si et seulement il existe deux réels kk et k′k^{\prime} tels que :

AM→=kAB→+k′AC→\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+k^{\prime}\overrightarrow{AC}

Remarque

Attention ! Notez que dans la propriété ci-dessus, tous les vecteurs ont la même origine AA.

Le fait que des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} soient coplanaires ne signifie pas que les points A,B,C,DA, B, C, D soient coplanaires.

Par exemple, si on considère le cube ci-dessous, AB→\overrightarrow{AB} et FG→\overrightarrow{FG} sont coplanaires (parce que FG→=AD→\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AD} ou tout simplement parce que deux vecteurs sont toujours coplanaires !) mais les points A,B,FA, B, F et GG ne le sont pas.

Vecteurs coplanaires - Points non coplanaires

4. Repérage - Représentations paramétriques

Définition

Un repère de l'espace est un quadruplet (O,i⃗,j⃗,k⃗)\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) où OO est un point et i⃗,j⃗,k⃗\vec{i}, \vec{j}, \vec{k} trois vecteurs non coplanaires.

Définition

Pour tout point MM de l'espace, il existe trois réels x,yx, y et zz tels que :

OM→=xi⃗+yj⃗+zk⃗\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}

(x ;y ;z)\left(x~; y~; z\right) s'appellent les coordonnées de MM dans le repère (O,i⃗,j⃗,k⃗)\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)

Remarques

  • x,yx, y et zz s'appellent respectivement l'abscisse, l'ordonnée et la cote du point MM

  • Comme dans le plan, on définit également les coordonnées d'un vecteur de la façon suivante :

    les coordonnées du vecteur u⃗\vec{u} dans le repère (O,i⃗,j⃗,k⃗)\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) sont les coordonnées du point MM tel que OM→=u⃗\overrightarrow{OM}=\vec{u}

Propriétés

Pour tous points A(xA ;yA ;zA)A \left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) et B(xB ;yB ;zB)B\left(x_{B}~; y_{B}~; z_{B}\right) :

  • le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (xB−xA ;yB−yA ;zB−zA)\left(x_{B} - x_{A}~; y_{B} - y_{A}~; z_{B} - z_{A}\right)

  • le point MM milieu de [AB]\left[AB\right] a pour coordonnées (xA+xB2 ;yA+yB2 ;zA+zB2)\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}~; \frac{y_{A}+y_{B}}{2}~; \frac{z_{A}+z_{B}}{2} \right)

Remarque

Les notions relatives aux repères orthonormés, distances, etc. sont abordées dans le chapitre «Orthogonalité et produit scalaire»

Théorème et définition (Représentation paramétrique d'une droite)

Un point M(x ;y ;z)M\left(x~; y~; z\right) appartient à la droite D\mathscr D passant par A(xA ;yA ;zA)A\left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) et de vecteur directeur u⃗(a ;b ;c)\vec{u}\left(a~; b~; c\right) si et seulement si il existe un réel kk tel que :

{x=xA+aky=yA+bkz=zA+ck\left\{ \begin{matrix} x=x_{A}+ak \\ y=y_{A}+bk \\ z=z_{A}+ck \end{matrix}\right. avec k∈Rk \in \mathbb{R}

Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite D\mathscr D

Démonstration

Elle est immédiate en utilisant :

M(x ;y ;z)∈D⇔AM→M\left(x~; y~; z\right) \in \mathscr D \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} et u⃗\vec{u} sont colinéaires⇔AM→=ku⃗ \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=k\vec{u}

Remarque

Une droite admet une infinité de représentations paramétriques

Exemple

La droite passant par l'origine et de vecteur directeur u⃗(1 ;1 ;1)\vec{u}\left(1~; 1~; 1\right) a pour représentation paramétrique :

{x=ky=kz=k\left\{ \begin{matrix} x=k \\ y=k \\ z=k \end{matrix}\right. avec k∈Rk \in \mathbb{R}

Théorème et définition (Représentation paramétrique d'un plan)

Soient P\mathscr P un plan passant par A(xA ;yA ;zA)A\left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) et u⃗(a ;b ;c)\vec{u}\left(a~; b~; c\right) et u⃗′(a′ ;b′ ;c′)\vec{u}^{\prime}\left(a^{\prime}~; b^{\prime}~; c^{\prime}\right) deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Un point M(x ;y ;z)M\left(x~; y~; z\right) appartient au plan P\mathscr P si et seulement si il existe deux réels kk et k′k^{\prime} tels que :

{x=xA+ak+a′k′y=yA+bk+b′k′z=zA+ck+c′k′\left\{ \begin{matrix} x=x_{A}+ak+a^{\prime}k^{\prime} \\ y=y_{A}+bk+b^{\prime}k^{\prime} \\ z=z_{A}+ck+c^{\prime}k^{\prime} \end{matrix}\right. avec k∈Rk \in \mathbb{R} et k′∈Rk^{\prime} \in \mathbb{R}

Ce système est appelé représentation paramétrique du plan P\mathscr P

Démonstration

On utilise le fait que :

M(x ;y ;z)∈P⇔AM→M\left(x~; y~; z\right) \in \mathscr P \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} est coplanaire à u⃗\vec{u} et u⃗′\vec{u}^{\prime} ⇔AM→=ku⃗+k′u⃗′ \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=k\vec{u}+k^{\prime}\vec{u}^{\prime}

Remarque

Là encore, un plan admet une infinité de représentations paramétriques

Exemple

Le plan (xOy)\left(xOy\right) passe par l'origine et i⃗(1 ;0 ;0)\vec{i}\left(1~; 0~; 0\right) et j⃗(0 ;1 ;0)\vec{j}\left(0~; 1~; 0\right) sont deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une représentation paramétrique du plan (xOy)\left(xOy\right) est donc :

{x=ky=k′z=0\left\{ \begin{matrix} x=k \\ y=k^{\prime} \\ z=0 \end{matrix}\right. avec (k,k′)∈R2\left(k,k^{\prime}\right) \in \mathbb{R}^{2}

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