Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Équations de droites

1. Équation réduite d'une droite

Propriété

Une droite du plan peut être caractérisée une équation de la forme :

  • x=cx=c si cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées (« verticale »)

  • y=mx+py=mx+p si cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.

Dans le second cas, mm est appelé coefficient directeur et pp ordonnée à l'origine.

Exemples

équations de droites

Remarques

  • L'équation d'une droite peut s'écrire sous plusieurs formes. Par exemple y=2x1y=2x - 1 est équivalente à y2x+1=0y - 2x+1=0 ou 2y4x+2=02y - 4x+2=0, etc.

    Les formes x=cx=c et y=mx+py=mx+p sont appelées équation réduite de la droite.

  • Cette propriété indique que toute droite qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine.(Voir chapitre Fonctions linéaires et affines)

  • Une droite parallèle à l'axe des abscisses a un coefficient direct mm égal à zéro. Son équation est donc de la forme y=py=p. C'est la représentation graphique d'une fonction constante.

Propriété

Soient AA et BB deux points du plan tels que xAxBx_A\neq x_B.

Le coefficient directeur de la droite (AB)\left(AB\right) est :

m=yByAxBxAm = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

Remarque

Une fois que le coefficient directeur de la droite (AB)\left(AB\right) est connu, on peut trouver l'ordonnée à l'origine en sachant que la droite (AB)\left(AB\right) passe par le point AA donc que les coordonnées de AA vérifient l'équation de la droite.

Exemple

On recherche l'équation de la droite passant par les points A(1;3)A\left(1 ; 3\right) et B(3;5)B\left(3 ; 5\right).

Les points AA et BB n'ayant pas la même abscisse, cette équation est du type y=mx+py=mx+p avec :

m=yByAxBxA=5331=22=1m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}=\frac{5 - 3}{3 - 1}=\frac{2}{2}=1

Donc l'équation de (AB)\left(AB\right) est de la forme y=x+py=x+p. Comme cette droite passe par AA, l'équation est vérifiée si on remplace xx et yy par les coordonnées de AA donc :

3=1+p3=1+p soit p=2p=2.

L'équation de (AB)\left(AB\right) est donc y=x+2y=x+2.

2. Droites parallèles - Droites sécantes

Propriété

Deux droites d'équations respectives y=mx+py=mx+p et y=mx+py=m^{\prime}x+p^{\prime} sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : m=mm=m^{\prime}.

Exemple

Droites parallèles

Équations de droites parallèles

Méthode

Soient D\mathscr D et D\mathscr D^{\prime} deux droites sécantes d'équations respectives y=mx+py=mx+p et y=mx+py=m^{\prime}x+p^{\prime}.

Les coordonnées (x;y)\left(x ; y\right) du point d'intersection des droites D\mathscr D et D\mathscr D^{\prime} s'obtiennent en résolvant le système :

{y=mx+py=mx+p\left\{ \begin{matrix} y=mx+p \\ y=m^{\prime}x+p^{\prime} \end{matrix}\right.

Remarque

Ce système se résout simplement par substitution. Il est équivalent à :

{mx+p=mx+py=mx+p\left\{ \begin{matrix} mx+p=m^{\prime}x+p^{\prime} \\ y=mx+p \end{matrix}\right.

Exemple

On cherche les coordonnées du point d'intersection des droites D\mathscr D et D\mathscr D^{\prime} d'équations respectives y=2x+1y=2x+1 et y=3x1y=3x - 1.

Ces droites n'ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes.

Les coordonnées du point d'intersection vérifient le système :

{y=2x+1y=3x1\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.

qui équivaut à :

{y=2x+1y=3x1{2x+1=3x1y=3x1\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+1=3x - 1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.

{y=2x+1y=3x1{x=2y=3x1\phantom{\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.

{y=2x+1y=3x1{x=2y=5\phantom{\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=5 \end{matrix}\right.

Le point d'intersection a pour coordonnées (2;5)\left(2 ; 5\right).