Équations de droites
1. Équation réduite d'une droite
Propriété
Une droite du plan peut être caractérisée une équation de la forme :
si cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées (« verticale »)
si cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
Dans le second cas, est appelé coefficient directeur et ordonnée à l'origine.
Exemples
Remarques
L'équation d'une droite peut s'écrire sous plusieurs formes. Par exemple est équivalente à ou , etc.
Les formes et sont appelées équation réduite de la droite.
Cette propriété indique que toute droite qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine.(Voir chapitre Fonctions linéaires et affines)
Une droite parallèle à l'axe des abscisses a un coefficient direct égal à zéro. Son équation est donc de la forme . C'est la représentation graphique d'une fonction constante.
Propriété
Soient et deux points du plan tels que .
Le coefficient directeur de la droite est :
Remarque
Une fois que le coefficient directeur de la droite est connu, on peut trouver l'ordonnée à l'origine en sachant que la droite passe par le point donc que les coordonnées de vérifient l'équation de la droite.
Exemple
On recherche l'équation de la droite passant par les points et .
Les points et n'ayant pas la même abscisse, cette équation est du type avec :
Donc l'équation de est de la forme . Comme cette droite passe par , l'équation est vérifiée si on remplace et par les coordonnées de donc :
soit .
L'équation de est donc .
2. Droites parallèles - Droites sécantes
Propriété
Deux droites d'équations respectives et sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : .
Exemple
Équations de droites parallèles
Méthode
Soient et deux droites sécantes d'équations respectives et .
Les coordonnées du point d'intersection des droites et s'obtiennent en résolvant le système :
Remarque
Ce système se résout simplement par substitution. Il est équivalent à :
Exemple
On cherche les coordonnées du point d'intersection des droites et d'équations respectives et .
Ces droites n'ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes.
Les coordonnées du point d'intersection vérifient le système :
qui équivaut à :
Le point d'intersection a pour coordonnées .