Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Dénombrement

1. Permutations

Définition

Soit E un ensemble fini.

Une permutation de E est une liste ordonnée d'éléments de E.

Exemple

Soit E={a;b;c}

E admet 6 permutations qui sont : (a;b;c), (a;c;b), (b;a;c), (b;c;a), (c;a;b) et (c;b;a)

Remarque

  • dans les notations avec parenthèses du type( a ; b ; c )l'ordre est pris en compte. (il s'agit d'une liste ordonnée)

  • dans les notations avec accolades du type { a ; b ; c } l'ordre n'est pas pris en compte. (il s'agit d'un ensemble)

Théorème

Le nombre de permutations d'un ensemble fini E à n éléments est le nombre n! ( factorielle n ) défini par :

n!=n×(n1)×...×1 n! = n\times \left(n - 1\right)\times . . .\times 1

Remarques

  • par convention on pose 0! = 1

  • pour tout entier n>0n > 0 : n!=n×(n1)!n! = n\times \left(n - 1\right)!

Exemple

Si l'on reprend l'exemple précédent on vérifie bien que :

3!=3×2×1=63! = 3\times 2\times 1=6

2. Combinaisons

Définition

Soit E un ensemble fini à nn éléments et pp un entier tel que 0pn0\leqslant p\leqslant n .

Une combinaison de p éléments de E est une partie de E contenant p éléments.

Remarque

Une partie est un ensemble donc l'ordre n'est pas pris en compte

Exemple

Soit E={a;b;c}

E admet 3 combinaisons à 2 éléments qui sont : {a;b}, {a;c}, {b;c}

Théorème

Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est le nombre noté (np)\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} (on lit "p parmi n" ) égal à :

(np)=n!p!(np)!\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=\frac{n!}{p!\left(n - p\right)!}

Exemples

  • Dans l'exemple ci-dessus on a bien : (32)=3!2!×1!=62=3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{3!}{2!\times 1!}=\frac{6}{2}=3

  • Au poker une "main" est formée de 5 cartes parmi 52. Il y a donc :

    (525)=52!47!×5!\begin{pmatrix} 52 \\ 5 \end{pmatrix}=\frac{52!}{47!\times 5!} =52×51×50×49×485×4×3×2×1 =\frac{52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=2 598 960 combinaisons=2~598~960 \text{ combinaisons}

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