Fonctions : Dérivées - Convexité
I. Fonction convexe - Fonction concave
Définition
Soient une fonction dérivable sur un intervalle et sa courbe représentative.
On dit que est convexe sur si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur l'intervalle .
On dit que est concave sur si la courbe est au-dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle .
Exemples
Fonction convexe (et quelques tangentes...)
Fonction concave (et quelques tangentes...)
Théorème
Si est dérivable sur :
est convexe sur si et seulement si est croissante sur
est concave sur si et seulement si est décroissante sur
Remarque
L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de . Si est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de . Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de et se note .
Théorème
Si est dérivable sur et si est dérivable sur (on dit aussi que est 2 fois dérivable
sur ) :
est convexe sur si et seulement si est positive ou nulle sur
est concave sur si et seulement si est négative ou nulle sur
Exemples
La fonction est deux fois dérivable sur .
et .
Comme est positive sur , est convexe sur .
La fonction est deux fois dérivable sur .
et .
sur , donc est convexe sur .
sur , donc est concave sur .
II. Point d'inflexion
Définition
Soient une fonction dérivable sur un intervalle , sa courbe représentative et un point de la courbe .
On dit que est un point d'inflexion de la courbe , si et seulement si la courbe traverse sa tangente en .
Exemple
Point d'inflexion en A
Propriété
Si est un point d'inflexion d'abscisse , passe de concave à convexe ou de convexe à concave en .
Théorème
Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle de courbe représentative . Le point d'abscisse est un point d'inflexion de si et seulement si s'annule et change de signe en .
Exemple
Le graphique de l'exemple précédent correspond à la fonction définie par :
On a et .
On vérifie bien que change de signe en . Donc le point d'abscisse et d'ordonnée est bien un point d'inflexion.