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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions : Dérivées - Convexité

I. Fonction convexe - Fonction concave

Définition

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle II et Cf\mathscr C_{f} sa courbe représentative.

  • On dit que ff est convexe sur II si la courbe Cf\mathscr C_{f} est au-dessus de toutes ses tangentes sur l'intervalle II.

  • On dit que ff est concave sur II si la courbe Cf\mathscr C_{f} est au-dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle II.

Exemples

fonction convexe

Fonction convexe (et quelques tangentes...)

fonction concave

Fonction concave (et quelques tangentes...)

Théorème

Si ff est dérivable sur II :

  • ff est convexe sur II si et seulement si f′f^{\prime} est croissante sur II

  • ff est concave sur II si et seulement si f′f^{\prime} est décroissante sur II

Remarque

L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de f′f^{\prime}. Si f′f^{\prime} est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f′f^{\prime}. Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de ff et se note f′′f^{\prime\prime}.

Théorème

Si ff est dérivable sur II et si f′f^{\prime} est dérivable sur II (on dit aussi que ff est 2 fois dérivable

sur II) :

  • ff est convexe sur II si et seulement si f′′f^{\prime\prime} est positive ou nulle sur II

  • ff est concave sur II si et seulement si f′′f^{\prime\prime} est négative ou nulle sur II

Exemples

  • La fonction f:x↦x2f : x \mapsto x^{2} est deux fois dérivable sur R\mathbb{R}.

    f′(x)=2xf^{\prime}\left(x\right)=2x et f′′(x)=2f^{\prime\prime}\left(x\right)=2.

    Comme f′′f^{\prime\prime} est positive sur R\mathbb{R}, ff est convexe sur R\mathbb{R}.

  • La fonction f:x↦x3f : x \mapsto x^{3} est deux fois dérivable sur R\mathbb{R}.

    f′(x)=3x2f^{\prime}\left(x\right)=3x^{2} et f′′(x)=6xf^{\prime\prime}\left(x\right)=6x.

    f′′⩾0f^{\prime\prime}\geqslant 0 sur [0;+∞[\left[0; +\infty \right[, donc ff est convexe sur [0;+∞[\left[0; +\infty \right[.

    f′′⩽0f^{\prime\prime}\leqslant 0 sur ]−∞;0]\left] - \infty ; 0\right], donc ff est concave sur ]−∞;0]\left] - \infty ; 0\right].

II. Point d'inflexion

Définition

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle II, Cf\mathscr C_{f} sa courbe représentative et A(a;f(a))A\left(a;f\left(a\right)\right) un point de la courbe Cf\mathscr C_{f} .

On dit que AA est un point d'inflexion de la courbe Cf\mathscr C_{f}, si et seulement si la courbe Cf\mathscr C_{f} traverse sa tangente en AA.

Exemple

point d'inflexion

Point d'inflexion en A

Propriété

Si AA est un point d'inflexion d'abscisse aa, f f passe de concave à convexe ou de convexe à concave en aa.

Théorème

Soit f f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle II de courbe représentative Cf\mathscr C_{f}. Le point AA d'abscisse aa est un point d'inflexion de Cf\mathscr C_{f} si et seulement si f′′f^{\prime\prime} s'annule et change de signe en aa.

Exemple

Le graphique de l'exemple précédent correspond à la fonction définie par :

f(x)=13x3−x2+1f\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{3} - x^{2}+1

On a f′(x)=x2−2xf^{\prime}\left(x\right)=x^{2} - 2x et f′′(x)=2x−2f^{\prime\prime}\left(x\right)=2x - 2.

On vérifie bien que f′′f^{\prime\prime} change de signe en 11. Donc le point AA d'abscisse 11 et d'ordonnée f(1)=13f\left(1\right)=\frac{1}{3} est bien un point d'inflexion.

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