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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Calcul littéral

1 - Développer

Définition

Développer un produit, c'est l'écrire sous la forme d'une somme (ou d'une différence).

Rappel

  • Une expression est une somme (algébrique) si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une addition ou une soustraction.

  • Une expression est un produit si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une multiplication.

Par exemple :

  • 3×5−2×453\times 5 - 2\times 45 et 2x+8y2x+8y sont des sommes algébriques

  • 5×(3+8)5\times \left(3+8\right) et (x+1)(y−5)\left(x+1\right)\left(y - 5\right) sont des produits.

Propriétés (Distributivité)

  • k(a+b)=ka+kbk\left(a+b\right)=ka+kb

  • k(a−b)=ka−kbk\left(a - b\right)=ka - kb

  • (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd

Exemples

Développer les expressions suivantes:

  • A=3(x−2)A=3\left(x - 2\right)

    A=3x−6A=3x - 6

  • B=(x+3)(2x−5)B=\left(x+3\right)\left(2x - 5\right)

    B=2x2−5x+6x−15B=2x^{2} - 5x+6x - 15

    B=2x2+x−15B=2x^{2}+x - 15

Propriétés (Identités remarquables - Développement)

  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

  • (a−b)2=a2−2ab+b2\left(a - b\right)^{2}=a^{2} - 2ab+b^{2}

  • (a+b)(a−b)=a2−b2\left(a+b\right)\left(a - b\right)=a^{2} - b^{2}

Exemples

Développer les expressions suivantes:

  • C=(x+1)2C=\left(x+1\right)^{2}

    C=x2+2×x×1+12C=x^{2}+2\times x\times 1+1^{2} (première identité remarquable avec a=xa=x et b=1b=1) C=x2+2x+1C=x^{2}+2x+1

  • D=(2x−1)2D=\left(2x - 1\right)^{2}

    D=4x2−2×2x×1+12D=4x^{2} - 2\times 2x\times 1+1^{2} (seconde identité remarquable avec a=2xa=2x et b=1b=1) D=4x2−4x+1D=4x^{2} - 4x+1

  • E=(x+2)(x−2)E=\left(x+2\right)\left(x - 2\right)

    E=x2−22E=x^{2} - 2^{2} (troisième identité remarquable avec a=xa=x et b=2b=2) E=x2−4E=x^{2} - 4

2 - Factoriser

Définition

Factoriser une somme (ou une différence), c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

Propriétés

  • ka+kb=k(a+b)ka+kb=k\left(a+b\right)

  • ka−kb=k(a−b)ka - kb=k\left(a - b\right)

k est le facteur commun

Exemples

Factoriser les expressions suivantes:

  • A=(x+3)(x+2)−7(x+2)A=\left(x+3\right)\left(x+2\right) - 7\left(x+2\right)

    Le facteur commun est (x+2)\left(x+2\right)

    A=(x+2)[(x+3)−7]A=\left(x+2\right)\left[\left(x+3\right) - 7\right]

    A=(x+2)(x−4)A=\left(x+2\right)\left(x - 4\right)

  • B=(2x+1)2−(2x+1)(x+3)B=\left(2x+1\right)^{2} - \left(2x+1\right)\left(x+3\right)

    B=(2x+1)(2x+1)−(2x+1)(x+3)B=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right) - \left(2x+1\right)\left(x+3\right)

    Le facteur commun est (2x+1)\left(2x+1\right)

    B=(2x+1)[(2x+1)−(x+3)]B=\left(2x+1\right)\left[\left(2x+1\right) - \left(x+3\right)\right]

    B=(2x+1)(2x+1−x−3)B=\left(2x+1\right)\left(2x+1 - x - 3\right)

    B=(2x+1)(x−2)B=\left(2x+1\right)\left(x - 2\right)

Remarques

  • Avec des carrés :

    Pour factoriser (x+1)2+(x+1)(x+2)\left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right), on utilise le fait que (x+1)2=(x+1)(x+1)\left(x+1\right)^{2}=\left(x+1\right)\left(x+1\right) ce qui fait apparaître le facteur commun (x+1)\left(x+1\right) :

    (x+1)2+(x+1)(x+2)=(x+1)(x+1)+(x+1)(x+2)\left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right)={\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+1\right)+{\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+2\right)

            =(x+1)[(x+1)+(x+2)]=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)+\left(x+2\right)\right]

            =(x+1)(2x+3)=\left(x+1\right)\left(2x+3\right)

  • Attention à ne pas oublier le 1 !

    Pour factoriser x2−xx^{2} - x on écrit que x2=x×xx^{2}=x\times x et x=x×1x=x\times 1;

    xx est alors facteur commun :

    x2−x=x×x−x×1=x(x−1)x^{2} - x = {\color{red} x}\times x - {\color{red} x}\times 1 = x \left(x - 1\right)

Propriétés (Identités remarquables - Factorisation)

  • a2+2ab+b2=(a+b)2a^{2}+2ab+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}

  • a2−2ab+b2=(a−b)2a^{2} - 2ab+b^{2}=\left(a - b\right)^{2}

  • a2−b2=(a+b)(a−b)a^{2} - b^{2}=\left(a+b\right)\left(a - b\right)

Exemples

Factoriser les expressions suivantes:

  • C=x2−6x+9C=x^{2} - 6x+9

    C=x2−2×x×3+32C=x^{2} - 2\times x\times 3+3^{2}

    C=(x−3)2C=\left(x - 3\right)^{2} (seconde identité remarquable avec a=xa=x et b=3b=3)

  • D=25x2−4D=25x^{2} - 4

    D=(5x)2−22D=\left(5x\right)^{2} - 2^{2}

    D=(5x+2)(5x−2)D=\left(5x+2\right)\left(5x - 2\right) (troisième identité remarquable avec a=5xa=5x et b=2b=2)

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