Fiche de révision BAC : probabilités discrètes

Quelle formule donne p_B (A) ? Quelle est la différence entre p_B (A) et p(A \cap B) ?

p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} (formule des probabilités conditionnelles).

{p(A\cap B)} est la probabilité que A et B se réalisent (alors que l’on ne sait pas a priori si A ou si B est réalisé) tandis que {p_B(A)} est la probabilité que A se réalise alors que l’on sait que B est réalisé.

Quand dit-on que deux événements sont indépendants ?

A et B sont deux événements indépendants si et seulement si :

p(A \cap B) = p(A) \times p(B).

Si la probabilité de B est non nulle cela équivaut à P_B(A)=p(A).

Intuitivement, cela revient à dire que la réalisation de B n’a aucune influence sur la réalisation de A (et réciproquement).

Quelle est la formule des probabilités totales ?

Pour deux événements A et B :

p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B}).

Plus généralement, si les événements B_1, B_2, \cdots , B_n forment une partition de l’univers alors, pour tout événement A :

p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2)+\cdots+p(A\cap B_n).

Qu’est ce que la « loi de probabilité » d’une variable aléatoire discrète ?

La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète X, généralement présentée sous forme d’un tableau, donne les probabilités de chacune des valeurs possibles x_i de X.

Comment calcule-t-on l’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète ? sa variance ? son écart-type ?

Si X prend les valeurs x_i avec les probabilités p_i  ;

Espérance mathématique :

E\left(X\right)= x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+. . . +x_{n}\times p_{n} = \sum_{i=1}^{n}p_{i} x_{i}

Variance :

V\left(X\right)=E\left(\left(X-\overline X\right)^{2}\right)

Ecart-type :

\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}

Quand dit-on qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale \mathscr{B}(n~;~p) ?

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale \mathscr{B}(n~;~p) de paramètres n et p, si  :

• l’expérience est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes;

• chacune de ces épreuve de Bernoulli possède deux et uniquement issues :

  • succès, de probabilité p;

  • échec, de probabilité 1-p ;

• la variable aléatoire X est égal au nombre de succès.

Quelle est l’espérance mathématique d’une loi binomiale ? sa variance ?

E(X)=np

V(X)=np(1-p)

Quelle formule donne p(X=k) lorsque X suit une loi binomiale \mathscr{B}(n~;~p) ? P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}