Fiche de révision BAC : les nombres complexes

Quelle est la forme algébrique d’un nombre complexe ? Quelle est la partie réelle ? La partie imaginaire ?

La forme algébrique d’un nombre complexe z est z=x+iy (ou z=a+ib…) où x et y sont deux réels. x est la partie réelle de z et y sa partie imaginaire.

Qu’est-ce que le conjugué d’un nombre complexe ?

Le conjugué de z=x+iy est le nombre complexe \overline{z}=x-iy.

Comment représente-t-on graphiquement un nombre complexe ?

Dans un repère orthonormé, on représente ee nombre complexe z=x+iy par le point M(x~;~y).
On dit que M est l’image de z et que z est l’affixe de M.

Qu’est-ce que le module et un argument d’un nombre complexe ? Comment s’interprètent-ils graphiquement  ?

Si le plan est rapporté au repère (O~;~\vec{u},~\vec{v}), le module de z d’image M est la distance OM :
|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}

Un argument \theta de z (pour z non nul) est une mesure, en radians, de l’angle ( \vec{u}~;~\vec{OM}).
On a \cos \theta = \dfrac{x}{|z|} et \sin \theta = \dfrac{y}{|z|}

Quelles sont les propriétés des conjugués, des modules et des arguments (produit, etc…) ?

z, z_1, z_2 désignent des nombres complexes quelconques et n un entier relatif. Conjugués :

• \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2}

• \overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\times \overline{z_2}

• \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} (si z_2\neq 0)

• \overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n}.

Modules :

• |z_1z_2| = |z_1|\times |z_2|

• |\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|} (si z_2\neq 0)

• |z_1+z_2| \leqslant |z_1| + |z_2| (inégalité triangulaire)

Arguments :

• \text{arg}\left(\overline{z}\right)=-\text{arg}\left(z\right)

• \text{arg}\left(z_1z_2\right)=\text{arg}\left(z_1\right)+\text{arg}\left(z_2\right)

• \text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)

• \text{arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\text{arg}\left(z_1\right)-\text{arg}\left(z_2\right)

Comment obtient-on la forme trigonométrique d’un nombre complexe ? La forme exponentielle ?

La forme trigonométrique d’un nombre complexe z de module r et dont un argument est \theta est :
z=r(\cos \theta + i \sin \theta).

La forme exponentielle est : z=r\text{e}^{i\theta}

Comment s’obtient la distance AB à partir des affixes des points A et B ?

Si A et B ont pour affixes respectives z_A et z_B : AB=\left|z_B-z_A\right|

Quels sont les arguments possibles pour un nombre réel ? un nombre imaginaire pur ?

Un nombre réel non nul a pour argument 0~(\text{mod.}~2\pi) (s’il est positif) ou \pi~(\text{mod.}~2\pi) (s’il est négatif). Un nombre imaginaire pur non nul a pour argument \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) (si sa partie imaginaire est positive) ou -\dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) (si sa partie imaginaire est négative)

Quelles sont, dans \mathbb{C}, les solutions de l’équation az^2+bz+c=0 ?

Si \Delta est positif ou nul, on retrouve les solutions réelles.
Si \Delta est strictement négatif, l’équation possède deux solutions conjuguées :
z_{1}=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}
z_{2}=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}.

Rappels de collège utiles pour certains exercices portant sur les nombres complexes.

A et B désignent des points du plan.

Quel est l’ensemble des points M tels que AM=BM ?

L’ensemble des points M tels que AM=BM est la médiatrice du segment [AB].

Quel est l’ensemble des points M tels que AM=k (où k est un réel donné) ?

L’ensemble des points M tels que AM=k est :

• le cercle de centre A et de rayon k si k > 0

• le point A si k = 0

• l’ensemble vide si k < 0

Quel est l’ensemble des points M tels que (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) ?

l’ensemble des points M tels que (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B (pour lesquels l’angle (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB}) n’est pas défini).