Quelle est la forme algébrique d'un nombre complexe ? Quelle est la partie réelle ? La partie imaginaire ?
Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe ?
Comment représente-t-on graphiquement un nombre complexe ?
Qu'est-ce que le module et un argument d'un nombre complexe ? Comment s'interprètent-ils graphiquement ?
Quelles sont les propriétés des conjugués, des modules et des arguments (produit, etc…) ?
Comment obtient-on la forme trigonométrique d'un nombre complexe ? La forme exponentielle ?
Comment s'obtient la distance AB à partir des affixes des points A et B ?
Quels sont les arguments possibles pour un nombre réel ? un nombre imaginaire pur ?
Quelles sont, dans \mathbb{C}, les solutions de l'équation az^2+bz+c=0 ?
Rappels de collège utiles pour certains exercices portant sur les nombres complexes.
A et B désignent des points du plan.
Quel est l'ensemble des points M tels que AM=BM ?
Quel est l'ensemble des points M tels que AM=k (où k est un réel donné) ?
Quel est l'ensemble des points M tels que (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) ?
Réponses
Quelle est la forme algébrique d'un nombre complexe ? Quelle est la partie réelle ? La partie imaginaire ?
La forme algébrique d'un nombre complexe z est z=x+iy (ou z=a+ib...) où x et y sont deux réels. x est la partie réelle de z et y sa partie imaginaire.
Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe ?
Le conjugué de z=x+iy est le nombre complexe \overline{z}=x-iy.
Comment représente-t-on graphiquement un nombre complexe ?
Dans un repère orthonormé, on représente ee nombre complexe z=x+iy par le point M(x~;~y).
On dit que M est l'image de z et que z est l'affixe de M.Qu'est-ce que le module et un argument d'un nombre complexe ? Comment s'interprètent-ils graphiquement ?
Si le plan est rapporté au repère (O~;~\vec{u},~\vec{v}), le module de z d'image M est la distance OM :
|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}Un argument \theta de z (pour z non nul) est une mesure, en radians, de l'angle ( \vec{u}~;~\vec{OM}).
On a \cos \theta = \dfrac{x}{|z|} et \sin \theta = \dfrac{y}{|z|}Quelles sont les propriétés des conjugués, des modules et des arguments (produit, etc…) ?
z, z_1, z_2 désignent des nombres complexes quelconques et n un entier relatif. Conjugués :
\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2}
\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\times \overline{z_2}
\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} (si z_2\neq 0)
\overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n}.
Modules :
|z_1z_2| = |z_1|\times |z_2|
|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|} (si z_2\neq 0)
|z_1+z_2| \leqslant |z_1| + |z_2| (inégalité triangulaire)
Arguments :
\text{arg}\left(\overline{z}\right)=-\text{arg}\left(z\right)
\text{arg}\left(z_1z_2\right)=\text{arg}\left(z_1\right)+\text{arg}\left(z_2\right)
\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)
\text{arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\text{arg}\left(z_1\right)-\text{arg}\left(z_2\right)
Comment obtient-on la forme trigonométrique d'un nombre complexe ? La forme exponentielle ?
La forme trigonométrique d'un nombre complexe z de module r et dont un argument est \theta est :
z=r(\cos \theta + i \sin \theta).La forme exponentielle est : z=r\text{e}^{i\theta}
Comment s'obtient la distance AB à partir des affixes des points A et B ?
Si A et B ont pour affixes respectives z_A et z_B : AB=\left|z_B-z_A\right|
Quels sont les arguments possibles pour un nombre réel ? un nombre imaginaire pur ?
Un nombre réel non nul a pour argument 0~(\text{mod.}~2\pi) (s'il est positif) ou \pi~(\text{mod.}~2\pi) (s'il est négatif). Un nombre imaginaire pur non nul a pour argument \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) (si sa partie imaginaire est positive) ou -\dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) (si sa partie imaginaire est négative)
Quelles sont, dans \mathbb{C}, les solutions de l'équation az^2+bz+c=0 ?
Si \Delta est positif ou nul, on retrouve les solutions réelles.
Si \Delta est strictement négatif, l'équation possède deux solutions conjuguées :
z_{1}=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}
z_{2}=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}.Rappels de collège utiles pour certains exercices portant sur les nombres complexes.
A et B désignent des points du plan.
Quel est l'ensemble des points M tels que AM=BM ?
L'ensemble des points M tels que AM=BM est la médiatrice du segment [AB].
Quel est l'ensemble des points M tels que AM=k (où k est un réel donné) ?
L'ensemble des points M tels que AM=k est :
le cercle de centre A et de rayon k si k > 0
le point A si k = 0
l'ensemble vide si k < 0
Quel est l'ensemble des points M tels que (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) ?
l'ensemble des points M tels que (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B (pour lesquels l'angle (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB}) n'est pas défini).