Définition
Une équation différentielle est une égalité mettant en relation une fonction et sa dérivée (ou ses dérivées successives).
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, consiste à trouver l’ensemble des fonctions dérivables sur I qui vérifie l’égalité pour tout x\in I
Remarque
Attention aux notations : Dans une équation différentielle, l’usage est de noter y pour f\left(x\right), y^{\prime} pour f^{\prime}\left(x\right) etc.
L’équation différentielle f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+x s’écrira par exemple y^{\prime}=y+x.
Cette notation ne doit pas faire oublier que les solutions recherchées sont des fonctions!
Exemple
La fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 est une solution de l’équation différentielle:
2y=xy^{\prime}
En effet : f\left(x\right)=x^{2} et f^{\prime}\left(x\right)=2x donc 2f\left(x\right)=x\times f^{\prime}\left(x\right)
Théorème
Les solutions, sur \mathbb{R}, de l’équation différentielle y^{\prime}=ay (où a\in \mathbb{R}) sont les fonctions définies par
f\left(x\right)=Ke^{ax} où K est un réel quelconque.
Démonstration
- Soit une fonction f définie par f\left(x\right)=Ke^{ax} où K est un réel quelconque.
f^{\prime}\left(x\right)=aKe^{ax}
donc f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right) et f est bien solution de l’équation différentielle y^{\prime}=ay - Réciproquement, soit f une solution de l’équation différentielle y^{\prime}=ay. On a f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right) pour tout x\in \mathbb{R}.
Posons g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{-ax}. g est dérivable sur \mathbb{R} et :
g^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)e^{-ax}-af\left(x\right)e^{-ax}=\left(f^{\prime}\left(x\right)-af\left(x\right)\right)e^{-ax}=0
g est donc une fonction constante : g\left(x\right)=K
Donc f\left(x\right)e^{-ax}=K, c’est à dire en multipliant chaque membre par e^{ax}:
f\left(x\right)=Ke^{ax}
Théorème
Les solutions, sur \mathbb{R}, de l’équation différentielle y^{\prime}=ay+b ( où a\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} et b\in \mathbb{R}) sont les fonctions définies par
f\left(x\right)=Ke^{ax}-\frac{b}{a} où K est un réel quelconque.
Théorème
Soit \left(x_{0}, y_{0}\right) un couple de réels. Il existe une unique fonction f solution sur \mathbb{R} de l’équation différentielle y^{\prime}=ay+b ( où a\in \mathbb{R} et b\in \mathbb{R} ) vérifiant la condtion f\left(x_{0}\right)=y_{0}
Remarque
La condition f\left(x_{0}\right)=y_{0} est souvent appelée condition initiale
