Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Terminale

Complément

Equations différentielles

 
Ce chapitre ne figure plus au programme de terminale.
Nouveau programme de Terminale S
 

Définition

Une équation différentielle est une égalité mettant en relation une fonction et sa dérivée (ou ses dérivées successives).
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, consiste à trouver l'ensemble des fonctions dérivables sur I qui vérifie l'égalité pour tout  x\in I

Remarque

Attention aux notations : Dans une équation différentielle, l'usage est de noter y pour f\left(x\right), y^{\prime} pour f^{\prime}\left(x\right) etc.
L'équation différentielle f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+x s'écrira par exemple y^{\prime}=y+x.
Cette notation ne doit pas faire oublier que les solutions recherchées sont des fonctions!

Exemple

La fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 est une solution de l'équation différentielle:
2y=xy^{\prime}
En effet : f\left(x\right)=x^{2} et f^{\prime}\left(x\right)=2x donc 2f\left(x\right)=x\times f^{\prime}\left(x\right)

Théorème

Les solutions, sur \mathbb{R}, de l'équation différentielle y^{\prime}=ay (où a\in \mathbb{R}) sont les fonctions définies par
f\left(x\right)=Ke^{ax} où K est un réel quelconque.

Démonstration

  • Soit une fonction f définie par  f\left(x\right)=Ke^{ax} où K est un réel quelconque.
    f^{\prime}\left(x\right)=aKe^{ax}
    donc f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right) et f est bien solution de l'équation différentielle y^{\prime}=ay
  • Réciproquement, soit f une solution de l'équation différentielle y^{\prime}=ay. On a f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right) pour tout x\in \mathbb{R}.
    Posons g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{-ax}. g est dérivable sur \mathbb{R} et :
    g^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)e^{-ax}-af\left(x\right)e^{-ax}=\left(f^{\prime}\left(x\right)-af\left(x\right)\right)e^{-ax}=0
    g est donc une fonction constante : g\left(x\right)=K
    Donc f\left(x\right)e^{-ax}=K, c'est à dire en multipliant chaque membre par e^{ax}:
    f\left(x\right)=Ke^{ax}

Théorème

Les solutions, sur \mathbb{R}, de l'équation différentielle y^{\prime}=ay+b ( où a\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} et b\in \mathbb{R}) sont les fonctions définies par
f\left(x\right)=Ke^{ax}-\frac{b}{a} où K est un réel quelconque.

Théorème

Soit \left(x_{0}, y_{0}\right) un couple de réels. Il existe une unique fonction f solution sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y^{\prime}=ay+b ( où a\in \mathbb{R} et b\in \mathbb{R} ) vérifiant la condtion f\left(x_{0}\right)=y_{0}

Remarque

La condition f\left(x_{0}\right)=y_{0} est souvent appelée condition initiale

  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Fonction exponentielle en Terminale S

Exercices

  • moyen[Bac] Etude de fonction avec exponentielle
  • moyen[Bac] Exponentielle - Limites - Tangente
  • moyen[Bac] Famille de fonctions avec exponentielle
  • moyen[ROC] Limites de la fonction exponentielle

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok