Exercice 1
4 points-Commun à tous les candidats
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.
- On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par :
u_{0}=1 et, pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1}=\frac{1}{3}u _{n}+4.
On pose, pour tout nombre entier naturel n, v_{n}=u_{n}-6.- Pour tout nombre entier naturel n, calculer v_{n+1} en fonction de v_{n}. Quelle est la nature de la suite \left(v_{n}\right) ?
- Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, u_{n}=-5 \left(\frac{1}{3}\right)^{n}+6.
- Étudier la convergence de la suite \left(u_{n}\right).
- On considère la suite \left(w_{n}\right) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n \geqslant 1 :
nw_{n} =\left(n+1\right)w_{n-1} +1 et w_{0}=1.
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.w_{0} w_{1} w_{2} w_{3} w_{4} w_{5} w_{6} w_{7} w_{8} w_{9} 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 - Détailler le calcul permettant d'obtenir w_{10}.
- Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Donner la nature de la suite \left(w_{n}\right). Calculer w_{2009}.
Corrigé
-
- v_{n+1}=u_{n+1}-6=\left(\frac{1}{3}u_{n}+4\right)-6=\frac{1}{3}u_{n}-2=\frac{1}{3}\left(v_{n}+6\right)-2=\frac{1}{3}v_{n}
La suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de premier terme v_{0}=u_{0}-6=-5 et de raison \frac{1}{3} - On en déduit pour tout entier naturel n :
v_{n}=v_{0}\times q^{n}=-5\left(\frac{1}{3}\right)^{n}
donc
u_{n}=v_{n}+6=-5\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+6 - Comme \frac{1}{3} < 1, on en déduit que :
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=6
donc la suite \left(u_{n}\right) converge vers 6
- v_{n+1}=u_{n+1}-6=\left(\frac{1}{3}u_{n}+4\right)-6=\frac{1}{3}u_{n}-2=\frac{1}{3}\left(v_{n}+6\right)-2=\frac{1}{3}v_{n}
-
- 10w_{10}=11w_{9}+1=11\times 19+1=210
w_{10}=21 - Montrons par récurrence que pour tout entier n :
w_{n}=2n+1
Initialisation
w_{0}=1 donc la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité
Supposons w_{n}=2n+1 pour un certain entier n, alors:
\left(n+1\right)w_{n+1}=\left(n+2\right)\left(2n+1\right)+1=2n^{2}+5n+3
2n^{2}+5n+3 est un polynôme du second degré en n dont les racines sont -1 et -\frac{3}{2} donc :
2n^{2}+5n+3=2\left(n+1\right)\left(n+\frac{3}{2}\right)=\left(n+1\right)\left(2n+3\right)
donc
\left(n+1\right)w_{n+1}=\left(n+1\right)\left(2n+3\right)
w_{n+1}=2n+3 car n+1\neq 0
Ce qui montre par récurrence que w_{n}=2n+1.
La suite \left(w_{n}\right) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1.
w_{2009}=2\times 2009+1=4019
- 10w_{10}=11w_{9}+1=11\times 19+1=210