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Terminale

moyenExercice corrigé

Suites et récurrence - Bac S Métropole 2009

Exercice 1

4 points-Commun à tous les candidats
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

  1. On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par :
    u_{0}=1 et, pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1}=\frac{1}{3}u _{n}+4.
    On pose, pour tout nombre entier naturel n, v_{n}=u_{n}-6.

    1. Pour tout nombre entier naturel n, calculer v_{n+1} en fonction de v_{n}. Quelle est la nature de la suite \left(v_{n}\right) ?
    2. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, u_{n}=-5 \left(\frac{1}{3}\right)^{n}+6.
    3. Étudier la convergence de la suite \left(u_{n}\right).
  2. On considère la suite \left(w_{n}\right) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n \geqslant 1 :
    nw_{n} =\left(n+1\right)w_{n-1} +1 et w_{0}=1.
    Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

    w_{0} w_{1} w_{2} w_{3} w_{4} w_{5} w_{6} w_{7} w_{8} w_{9}
    1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
    1. Détailler le calcul permettant d'obtenir w_{10}.
    2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Donner la nature de la suite \left(w_{n}\right). Calculer w_{2009}.

Corrigé

    1. v_{n+1}=u_{n+1}-6=\left(\frac{1}{3}u_{n}+4\right)-6=\frac{1}{3}u_{n}-2=\frac{1}{3}\left(v_{n}+6\right)-2=\frac{1}{3}v_{n}
      La suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de premier terme v_{0}=u_{0}-6=-5 et de raison \frac{1}{3}
    2. On en déduit pour tout entier naturel n :
      v_{n}=v_{0}\times q^{n}=-5\left(\frac{1}{3}\right)^{n}
      donc
      u_{n}=v_{n}+6=-5\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+6
    3. Comme \frac{1}{3} < 1, on en déduit que :
      \lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=6
      donc la suite \left(u_{n}\right) converge vers 6
    1. 10w_{10}=11w_{9}+1=11\times 19+1=210
      w_{10}=21
    2. Montrons par récurrence que pour tout entier n :
      w_{n}=2n+1
      Initialisation
      w_{0}=1 donc la propriété est vraie au rang 1.
      Hérédité
      Supposons w_{n}=2n+1 pour un certain entier n, alors:
      \left(n+1\right)w_{n+1}=\left(n+2\right)\left(2n+1\right)+1=2n^{2}+5n+3
      2n^{2}+5n+3 est un polynôme du second degré en n dont les racines sont -1 et -\frac{3}{2} donc :
      2n^{2}+5n+3=2\left(n+1\right)\left(n+\frac{3}{2}\right)=\left(n+1\right)\left(2n+3\right)
      donc
      \left(n+1\right)w_{n+1}=\left(n+1\right)\left(2n+3\right)
      w_{n+1}=2n+3 car n+1\neq 0
      Ce qui montre par récurrence que w_{n}=2n+1.
      La suite \left(w_{n}\right) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1.
      w_{2009}=2\times 2009+1=4019
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