Terminale

moyen Exercice corrigé

Suites et récurrence - Bac S Métropole 2009

Exercice 1

4 points-Commun à tous les candidats
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par :
u_{0}=1 et, pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1}=\frac{1}{3}u _{n}+4.
On pose, pour tout nombre entier naturel n, v_{n}=u_{n}-6.
1. Pour tout nombre entier naturel $n$ , calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ . Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
2. Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ , $u_{n}=-5 \left(\frac{1}{3}\right)^{n}+6$ .
3. Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
On considère la suite \left(w_{n}\right) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n \geqslant 1 :
nw_{n} =\left(n+1\right)w_{n-1} +1 et w_{0}=1.
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.
$w_{0}$ $w_{1}$ $w_{2}$ $w_{3}$ $w_{4}$ $w_{5}$ $w_{6}$ $w_{7}$ $w_{8}$ $w_{9}$
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
1. Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$ .
2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
  Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$ . Calculer $w_{2009}$ .

Corrigé

1. $v_{n+1}=u_{n+1}-6=\left(\frac{1}{3}u_{n}+4\right)-6=\frac{1}{3}u_{n}-2=\frac{1}{3}\left(v_{n}+6\right)-2=\frac{1}{3}v_{n}$
  La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0}=u_{0}-6=-5$ et de raison $\frac{1}{3}$
2. On en déduit pour tout entier naturel $n$ :
  $v_{n}=v_{0}\times q^{n}=-5\left(\frac{1}{3}\right)^{n}$
  donc
  $u_{n}=v_{n}+6=-5\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+6$
3. Comme $\frac{1}{3} < 1$ , on en déduit que :
  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=6$
  donc la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers 6
1. $10w_{10}=11w_{9}+1=11\times 19+1=210$
  $w_{10}=21$
2. Montrons par récurrence que pour tout entier n :
  $w_{n}=2n+1$
  Initialisation
  $w_{0}=1$ donc la propriété est vraie au rang 1.
  Hérédité
  Supposons $w_{n}=2n+1$ pour un certain entier $n$ , alors:
  $\left(n+1\right)w_{n+1}=\left(n+2\right)\left(2n+1\right)+1=2n^{2}+5n+3$
  $2n^{2}+5n+3$ est un polynôme du second degré en $n$ dont les racines sont $-1$ et $-\frac{3}{2}$ donc :
  $2n^{2}+5n+3=2\left(n+1\right)\left(n+\frac{3}{2}\right)=\left(n+1\right)\left(2n+3\right)$
  donc
  $\left(n+1\right)w_{n+1}=\left(n+1\right)\left(2n+3\right)$
  $w_{n+1}=2n+3$ car $n+1\neq 0$
  Ce qui montre par récurrence que $w_{n}=2n+1$ .
  La suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1.
  $w_{2009}=2\times 2009+1=4019$

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