Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Suites - Fonctions - Bac S Amérique du Nord 2018

Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les deux graphiques donnés en annexe seront à compléter et à rendre avec la copie

Un scooter radio commandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de 1 m.s1^{ - 1}. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse.

On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d'unité 1 mètre. L'origine de ce repère est la position initiale du chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d'équation x=5x = 5. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.

Dans la suite de l'exercice, on étudie deux modélisations différentes de la trajectoire du chien.

Partie A - Modélisation à l'aide d'une suite

La situation est représentée par le graphique n° 1 donné en annexe.

À l'instant initial, le scooter est représenté par le point S0S_0. Le chien qui le poursuit est représenté par le point M0M_0. On considère qu'à chaque seconde, le chien s'oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de 1 mètre.

Ainsi, à l'instant initial, le chien s'oriente en direction du point S0S_0, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point M1M_1. À cet instant, le scooter est au point S1S_1. Le chien s'oriente en direction de S1S_1 et se déplace en ligne droite en parcourant 1 mètre, et ainsi de suite.

On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées (Mn)\left(M_n\right) et (Sn)\left(S_n\right).

Au bout de nn secondes, les coordonnées du point SnS_n sont (5 : n)(5~:~n). On note (xn : yn)\left(x_n~:~y_n\right) les coordonnées du point MnM_n.

  1. Construire sur le graphique n° 1 donné en annexe les points M2M_2 et M3M_3.

  2. On note dnd_n la distance entre le chien et le scooter nn secondes après le début de la poursuite.

    On a donc dn=MnSnd_n = M_nS_n.

    Calculer d0d_0 et d1d_1.

  3. Justifier que le point M2M_2 a pour coordonnées (1+417 : 117)\left(1 + \dfrac{4}{\sqrt{17}}~:~\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right).

  4. On admet que, pour tout entier naturel nn :

    {xn+1=xn+5xndnyn+1=yn+nyndn\left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}& = &x_n + \dfrac{5 - x_n}{d_n}\\ y_{n+1}&=&y_n + \dfrac{n - y_n}{d_n} \end{array}\right.

    1. Le tableau ci-dessous, obtenu à l'aide d'un tableur, donne les coordonnées des points MnM_n et SnS_n ainsi que la distance dnd_n en fonction de nn. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules C5 et F5 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes C et F ?

    2. On admet que la suite (dn)\left(d_n\right) est strictement décroissante.

      Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l'aide du tableau.

Partie B - Modélisation à l'aide d'une fonction

On modélise maintenant la trajectoire du chien à l'aide de la courbe F\mathscr{F} de la fonction ff définie pour tout réel xx de l'intervalle [0 : 5[ par :

f(x)=2,5ln(10,2x)0,5x+0,05x2.f(x) = - 2,5\ln (1 - 0, 2x) - 0,5x + 0,05x^2.

Cela signifie que le chien se déplace sur la courbe F\mathscr{F} de la fonction ff.

  1. Lorsque le chien se trouve au point MM de coordonnées (x : f(x))(x~:~f(x)) de la courbe F\mathscr{F}, où xx appartient à l'intervalle [0 : 5[, le scooter se trouve au point SS, d'ordonnée notée ySy_S. Ainsi le point SS a pour coordonnées (5 : yS)\left(5~:~y_S\right). La tangente à la courbe F\mathscr{F} au point MM passe par le point SS. Cela traduit le fait que le chien s'oriente toujours en direction du scooter. On note d(x)d(x) la distance MSMS entre le chien et le scooter lorsque MM a pour abscisse xx.

    1. Sur le graphique n° 2 donné en annexe, construire, sans calcul, le point SS donnant la position du scooter lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe F\mathscr{F} et lire les coordonnées du point SS.

    2. On note ff^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff sur l'intervalle [0 : 5[ et on admet que, pour tout réel xx de l'intervalle [0 : 5[ :

      f(x)=x(10,1x)5x.f^{\prime}(x) = \dfrac{x(1 - 0,1x)}{5 - x}.

      Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de l'ordonnée du point SS lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe F\mathscr{F}.

  2. On admet que d(x)=0,1x2x+5d(x) = 0,1x^2 - x + 5 pour tout réel xx de l'intervalle [0 : 5[.

    Justifier qu'au cours du temps la distance MSMS se rapproche d'une valeur limite que l'on déterminera.


Annexe

À rendre avec la copie

Partie A - question 1

Graphique n° 1

Partie B - question 1

Graphique n° 2