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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites Matrices - Bac S Polynésie 2013 (Spé)

Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant suivis l'enseignement de spécialité mathématiques

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.

En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.

Pour tout entier naturel nn, on note ana_{n} le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la nn-ième année après 2013, et bnb_{n} le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la nn-ième année après 2013.

Ainsi, a0=300a_{0}=300 et b0=300b_{0}=300.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :

pour tout entier naturel nn,

{an+1=0,7an+0,2bn+60bn+1=0,1an+0,6bn+70\left\{ \begin{matrix} a_{n+1}=0,7a_{n}+0,2b_{n}+60 \\ b_{n+1}=0,1a_{n}+0,6b_{n}+70 \end{matrix}\right..

On considère les matrices M=(0,70,20,10,6)M=\begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix} et P=(6070)P=\begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix}

Pour tout entier naturel nn, on note Un=(anbn)U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \end{pmatrix}.

    1. Déterminer U1U_{1}.

    2. Vérifier que, pour tout entier naturel nn, Un+1=M×Un+PU_{n+1}=M\times U_{n} +P

  1. On note II la matrice (1201)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

    1. Calculer (IM)×(4213)\left(I - M\right)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

    2. En déduire que la matrice IMI - M est inversible et préciser son inverse.

    3. Déterminer la matrice UU telle que U=M×U+PU=M\times U+P

  2. Pour tout entier naturel, on pose Vn=UnUV_{n}=U_{n} - U.

    1. Justifier que, pour tout entier naturel nn, Vn+1=M×VnV_{n+1}=M \times V_{n}.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel nn, Vn=Mn×V0V_{n}=M^{n} \times V_{0}

  3. On admet que, pour tout entier naturel nn, Vn=(1003×0,8n1403×0,5n503×0,8n+1403×0,5n)V_{n} =\begin{pmatrix} - \frac{100}{3}\times 0,8^{n} - \frac{140}{3} \times 0,5^{n} \\ \\ - \frac{50}{3} \times 0,8^{n}+\frac{140}{3} \times 0,5^{n}\end{pmatrix}

    1. Pour tout entier naturel nn, exprimer UnU_{n} en fonction de nn et en déduire la limite de la suite (an)\left(a_{n}\right).

    2. Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme