Suites - Bac S Polynésie 2014

Exercice 2  (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par
u_{0}=0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n}+2n +2.

1. Calculer u_{1} et u_{2}.
2. On considère les deux algorithmes suivants :

   Variables :	n est un entier naturel
   	u est un réel
   Entrée :	Saisir la valeur de n
   Traitement :	u prend la valeur 0
   	Pour i allant de 1 à n:
   	.........u prend la valeur u+2i+2
   	Fin Pour
   Sortie :	Afficher u

   Algorithme 1

   Variables :	n est un entier naturel
   	u est un réel
   Entrée :	Saisir la valeur de n
   Traitement :	u prend la valeur 0
   	Pour i allant de 0 à n-1:
   	.........u prend la valeur u+2i+2
   	Fin Pour
   Sortie :	Afficher u

   Algorithme 2

   De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de u_{n}, la valeur de l'entier naturel n étant entrée par l'utilisateur ?

3. À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u_{n} en ordonnée.
   

   n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
   u_{n}	0	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110	132	156

   

   1. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite \left(u_{n}\right) ?
      Démontrer cette conjecture.
   2. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, u_{n}=an^{2}+bn+c
      Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l'aide des informations fournies.
4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite \left(v_{n}\right) par v_{n}=u_{n+1}-u_{n}.
   1. Exprimer v_{n} en fonction de l'entier naturel n. Quelle est la nature de la suite \left(v_{n}\right) ?
   2. On définit, pour tout entier naturel n, S_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k}=v_{0}+v_{1}+. . .+v_{n}.
      Démontrer que, pour tout entier naturel n, S_{n}=\left(n+1\right)\left(n+2\right).
   3. Démontrer que, pour tout entier naturel n, S_{n}=u_{n+1}-u_{0}, puis exprimer u_{n} en fonction de n.

   Corrigé

   Solution rédigée par Paki

   suites-bac-s-polynesie-2014