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Terminale

moyenExercice corrigé

Suites - Bac S Polynésie 2014

Exercice 2  (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par
u_{0}=0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n}+2n +2.

  1. Calculer u_{1} et u_{2}.
  2. On considère les deux algorithmes suivants :
    Variables : n est un entier naturel
    u est un réel
    Entrée : Saisir la valeur de n
    Traitement : u prend la valeur 0
    Pour i allant de 1 à n:
    .........u prend la valeur u+2i+2
    Fin Pour
    Sortie : Afficher u

    Algorithme 1

    Variables : n est un entier naturel
    u est un réel
    Entrée : Saisir la valeur de n
    Traitement : u prend la valeur 0
    Pour i allant de 0 à n-1:
    .........u prend la valeur u+2i+2
    Fin Pour
    Sortie : Afficher u

    Algorithme 2

    De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de u_{n}, la valeur de l'entier naturel n étant entrée par l'utilisateur ?

  3. À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u_{n} en ordonnée.
    n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    u_{n} 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156

    1. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite \left(u_{n}\right) ?
      Démontrer cette conjecture.
    2. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, u_{n}=an^{2}+bn+c
      Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l'aide des informations fournies.
  4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite \left(v_{n}\right) par v_{n}=u_{n+1}-u_{n}.
    1. Exprimer v_{n} en fonction de l'entier naturel n. Quelle est la nature de la suite \left(v_{n}\right) ?
    2. On définit, pour tout entier naturel n, S_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k}=v_{0}+v_{1}+. . .+v_{n}.
      Démontrer que, pour tout entier naturel n, S_{n}=\left(n+1\right)\left(n+2\right).
    3. Démontrer que, pour tout entier naturel n, S_{n}=u_{n+1}-u_{0}, puis exprimer u_{n} en fonction de n.

    Corrigé

    Solution rédigée par Paki

    suites-bac-s-polynesie-2014
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