Suites - Bac S Polynésie 2013

Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivis l'enseignement de spécialité
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=\frac{1}{2} et telle que pour tout entier naturel n,
u_{n+1}=\frac{3u_{n}}{1+2u_{n}}

1. 1. Calculer u_{1} et u_{2}.
   2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < u_{n}.
2. On admet que pour tout entier naturel n, u_{n} < 1.
   1. Démontrer que la suite \left(u_{n}\right) est croissante.
   2. Démontrer que la suite \left(u_{n}\right) converge.
3. Soit \left(v_{n}\right) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=\frac{u_{n}}{1-u_{n}}.
   1. Montrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison 3.
   2. Exprimer pour tout entier naturel n, v_{n} en fonction de n.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\frac{3^{n}}{3^{n}+1}.
   4. Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).

   Corrigé

   Solution rédigée par Paki
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