Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivis l'enseignement de spécialité
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=\frac{1}{2} et telle que pour tout entier naturel n,
u_{n+1}=\frac{3u_{n}}{1+2u_{n}}
-
- Calculer u_{1} et u_{2}.
- Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < u_{n}.
- Démontrer que la suite \left(u_{n}\right) est croissante.
- Démontrer que la suite \left(u_{n}\right) converge.
- Montrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison 3.
- Exprimer pour tout entier naturel n, v_{n} en fonction de n.
- En déduire que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\frac{3^{n}}{3^{n}+1}.
- Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
Corrigé
Solution rédigée par Paki
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