Exercice 4 5 points
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Soit la suite numérique \left(u_{n}\right) définie sur \mathbb{N} par u_{0}=2 et pour tout entier naturel n,
u_{n+1}=\frac{2}{3}u_{n}+\frac{1}{3}n+1.
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- Calculer u_{1}, u_{2}, u_{3} et u_{4}. On pourra en donner des valeurs approchées à 10^{-2} près.
- Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
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- Démontrer que pour tout entier naturel n,
u_{n} \leqslant n+3.
- Démontrer que pour tout entier naturel n,
u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{3} \left(n+3-u_{n}\right).
- En déduire une validation de la conjecture précédente.
- Démontrer que pour tout entier naturel n,
- On désigne par \left(v_{n}\right) la suite définie sur \mathbb{N} par v_{n}=u_{n}-n.
- Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison \frac{2}{3}.
- En déduire que pour tout entier naturel n,
u_{n}=2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+n
- Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
- Pour tout entier naturel non nul n, on pose:
S_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+. . .+u_{n}
et
T_{n}=\frac{S_{n}}{n^{2}}.
- Exprimer S_{n} en fonction de n.
- Déterminer la limite de la suite \left(T_{n}\right).
Corrigé
Solution rédigée par Paki
suites-bac-s-metropole-2013