Suites - Bac S Métropole 2013

Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite numérique \left(u_{n}\right) définie sur \mathbb{N} par u_{0}=2 et pour tout entier naturel n,

u_{n+1}=\frac{2}{3}u_{n}+\frac{1}{3}n+1.

1. 1. Calculer u_{1}, u_{2}, u_{3} et u_{4}. On pourra en donner des valeurs approchées à 10^{-2} près.
   2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2. 1. Démontrer que pour tout entier naturel n,

      u_{n} \leqslant n+3.

   2. Démontrer que pour tout entier naturel n,

      u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{3} \left(n+3-u_{n}\right).

   3. En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par \left(v_{n}\right) la suite définie sur \mathbb{N} par v_{n}=u_{n}-n.
   1. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison \frac{2}{3}.
   2. En déduire que pour tout entier naturel n,

      u_{n}=2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+n

   3. Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose:

   S_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+. . .+u_{n}

   et

   T_{n}=\frac{S_{n}}{n^{2}}.

   1. Exprimer S_{n} en fonction de n.
   2. Déterminer la limite de la suite \left(T_{n}\right).