Suites - Bac S Asie 2013

Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=2 et, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :

   u_{n} > 1

2. 1. Établir que, pour tout entier naturel n, on a :

      u_{n+1}- u_{n}=\frac{\left(1-u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}}.

   2. Déterminer le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right).
      En déduire que la suite \left(u_{n}\right) converge.

   Partie B

   On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par : u_{0}=2 et, pour tout entier naturel n :

   u_{n+1}=\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}.

   On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

   1. On considère l'algorithme suivant :

      Entrée	Soit un entier naturel non nul n
      Initialisation	Affecter à u la valeur 2
      Traitement et sortie	POUR i allant de 1 à n
      	...Affecter à u la valeur \frac{1+0,5u}{0,5+u}
      	...Afficher u
      	FIN POUR

      Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n=3. Les valeurs de u seront arrondies au millième.

      i	1	2	3
      u

   2. Pour n=12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
      

      i	4	5	6	7	8	9	10	11	12
      u	1,0083	0,9973	1,0009	0,9997	1,0001	0,99997	1,00001	0,999996	1,000001

      Conjecturer le comportement de la suite \left(u_{n}\right) à l'infini.

   3. On considère la suite \left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n, par : v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+1}.
      1. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique de raison -\frac{1}{3}.
      2. Calculer v_{0} puis écrire v_{n} en fonction de n.
      3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : v_{n} \neq 1.
         2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u_{n}=\frac{1+v_{n}}{1-v_{n}}.
         3. Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).

         Corrigé

         Partie A

         1. Soit P_{n} la propriété «u_{n} > 1»

            Initialisation :
            u_{0}=2 > 1 donc P_{0} est vraie.
            Hérédité
            Supposons que P_{n} soit vraie pour un entier n fixé. Alors :
            u_{n+1}-1=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}-1=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}-\frac{3+u_{n}}{3+u_{n}}=\frac{-2+2u_{n}}{3+u_{n}}=\frac{2\left(u_{n}-1\right)}{3+u_{n}}
            Comme u_{n} > 1 par hypothèse de récurrence, le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs donc u_{n+1}-1 > 0 donc u_{n+1} > 1 ce qui prouve l'hérédité.
            Par conséquent, u_{n} > 1 pour tout entier naturel n.

         2. 1. u_{n+1}- u_{n}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}-u_{n}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}-\frac{u_{n}\left(3+u_{n}\right)}{3+u_{n}}=\frac{1-u_{n}^{2}}{3+u_{n}}
               u_{n+1}- u_{n}=\frac{\left(1-u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}}
            2. D'après la question 1. u_{n} > 1 pour tout entier naturel n. Par conséquent :
               ♦  1-u_{n} < 0
               ♦  1+u_{n} > 0
               ♦  3+u_{n} > 0

               u_{n+1}- u_{n} est donc strictement négatif pour tout entier n. Par conséquent, la suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante.

               La suite \left(u_{n}\right) est décroissante et minorée par 1 donc convergente (voir cours)

         Partie B

         1. A la calculatrice (en utilisant le menu Suites) on trouve :
            

            i	1	2	3
            u	0,8	1,077	0,976

         2. La suite \left(u_{n}\right) semble converger vers 1.
         3. 1. v_{n+1} = \frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1} = \frac{\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}-1}{\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}+1}=\frac{\frac{-0,5u_{n}-0,5}{0,5+u_{n}}}{\frac{1,5u_{n}+1,5}{0,5+u_{n}}}=\frac{-0,5u_{n}-0,5}{0,5+u_{n}}\times \frac{0,5+u_{n}}{1,5u_{n}+1,5}
               v_{n+1} =\frac{-0,5u_{n}-0,5}{1,5u_{n}+1,5}=-\frac{0,5}{1,5}\times \frac{u_{n}-1}{u_{n}+1}=-\frac{1}{3}v_{n}
               Donc, la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison -\frac{1}{3}
            2. v_{0}=\frac{u_{0}-1}{u_{0}+1}=\frac{1}{3}
               Par conséquent :
               v_{n}=v_{0}\times \left(-\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{1}{3}\times \left(-\frac{1}{3}\right)^{n}
               (Remarque : le résultat peut aussi s'écrire -\left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1})
         4. 1. Pour tout entier n, \left(-\frac{1}{3}\right)^{n} \leqslant 1 donc v_{n} \leqslant \frac{1}{3} et par conséquent v_{n}\neq 1
            2. v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+1} équivaut à :
               v_{n}\left(u_{n}+1\right)=u_{n}-1
               v_{n}u_{n}+v_{n}=u_{n}-1
               v_{n}u_{n}-u_{n}=-v_{n}-1
               -v_{n}u_{n}+u_{n}=v_{n}+1
               u_{n}\left(1-v_{n}\right)=v_{n}+1
               u_{n}=\frac{1+v_{n}}{1-v_{n}} car pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n}\neq 1
            3. v_{n} est une suite géométrique dont la raison est strictement inférieure à 1 en valeur absolue.
               La suite \left(v_{n}\right) converge donc vers 0 (voir limite d'une suite géométrique).
               D'après la formule u_{n}=\frac{1+v_{n}}{1-v_{n}} et les règles de calcul sur les limites, la suite \left(u_{n}\right) converge donc vers 1.