Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Terminale

moyenExercice corrigé

Suites - Bac S Asie 2013

Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=2 et, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :

    u_{n} > 1

    1. Établir que, pour tout entier naturel n, on a :

      u_{n+1}- u_{n}=\frac{\left(1-u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}}.

    2. Déterminer le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right).
      En déduire que la suite \left(u_{n}\right) converge.

    Partie B

    On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par : u_{0}=2 et, pour tout entier naturel n :

    u_{n+1}=\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}.

    On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

    1. On considère l'algorithme suivant :
      Entrée Soit un entier naturel non nul n
      Initialisation Affecter à u la valeur 2
      Traitement et sortie POUR i allant de 1 à n
      ...Affecter à u la valeur \frac{1+0,5u}{0,5+u}
      ...Afficher u
      FIN POUR

      Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n=3. Les valeurs de u seront arrondies au millième.

        i     1     2     3  
        u    
    2. Pour n=12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
      i 4 5 6 7 8 9 10 11 12
      u 1,0083 0,9973 1,0009 0,9997 1,0001 0,99997 1,00001 0,999996 1,000001

      Conjecturer le comportement de la suite \left(u_{n}\right) à l'infini.

    3. On considère la suite \left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n, par : v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+1}.
      1. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique de raison -\frac{1}{3}.
      2. Calculer v_{0} puis écrire v_{n} en fonction de n.
        1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : v_{n} \neq 1.
        2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u_{n}=\frac{1+v_{n}}{1-v_{n}}.
        3. Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).

        Corrigé

        Partie A

        1. Soit P_{n} la propriété «u_{n} > 1»

          Initialisation :
          u_{0}=2 > 1 donc P_{0} est vraie.
          Hérédité
          Supposons que P_{n} soit vraie pour un entier n fixé. Alors :
          u_{n+1}-1=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}-1=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}-\frac{3+u_{n}}{3+u_{n}}=\frac{-2+2u_{n}}{3+u_{n}}=\frac{2\left(u_{n}-1\right)}{3+u_{n}}
          Comme u_{n} > 1 par hypothèse de récurrence, le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs donc u_{n+1}-1 > 0 donc u_{n+1} > 1 ce qui prouve l'hérédité.
          Par conséquent, u_{n} > 1 pour tout entier naturel n.

          1. u_{n+1}- u_{n}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}-u_{n}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}-\frac{u_{n}\left(3+u_{n}\right)}{3+u_{n}}=\frac{1-u_{n}^{2}}{3+u_{n}}
            u_{n+1}- u_{n}=\frac{\left(1-u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}}
          2. D'après la question 1. u_{n} > 1 pour tout entier naturel n. Par conséquent :
            ♦  1-u_{n} < 0
            ♦  1+u_{n} > 0
            ♦  3+u_{n} > 0

            u_{n+1}- u_{n} est donc strictement négatif pour tout entier n. Par conséquent, la suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante.

            La suite \left(u_{n}\right) est décroissante et minorée par 1 donc convergente (voir cours)

        Partie B

        1. A la calculatrice (en utilisant le menu Suites) on trouve :
          i 1 2 3
          u 0,8 1,077 0,976
        2. La suite \left(u_{n}\right) semble converger vers 1.
          1. v_{n+1} = \frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1} = \frac{\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}-1}{\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}+1}=\frac{\frac{-0,5u_{n}-0,5}{0,5+u_{n}}}{\frac{1,5u_{n}+1,5}{0,5+u_{n}}}=\frac{-0,5u_{n}-0,5}{0,5+u_{n}}\times \frac{0,5+u_{n}}{1,5u_{n}+1,5}
            v_{n+1} =\frac{-0,5u_{n}-0,5}{1,5u_{n}+1,5}=-\frac{0,5}{1,5}\times \frac{u_{n}-1}{u_{n}+1}=-\frac{1}{3}v_{n}
            Donc, la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison -\frac{1}{3}
          2. v_{0}=\frac{u_{0}-1}{u_{0}+1}=\frac{1}{3}
            Par conséquent :
            v_{n}=v_{0}\times \left(-\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{1}{3}\times \left(-\frac{1}{3}\right)^{n}
            (Remarque : le résultat peut aussi s'écrire -\left(-\frac{1}{3}\right)^{n+1})
          1. Pour tout entier n, \left(-\frac{1}{3}\right)^{n} \leqslant 1 donc v_{n} \leqslant \frac{1}{3} et par conséquent v_{n}\neq 1
          2. v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+1} équivaut à :
            v_{n}\left(u_{n}+1\right)=u_{n}-1
            v_{n}u_{n}+v_{n}=u_{n}-1
            v_{n}u_{n}-u_{n}=-v_{n}-1
            -v_{n}u_{n}+u_{n}=v_{n}+1
            u_{n}\left(1-v_{n}\right)=v_{n}+1
            u_{n}=\frac{1+v_{n}}{1-v_{n}} car pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n}\neq 1
          3. v_{n} est une suite géométrique dont la raison est strictement inférieure à 1 en valeur absolue.
            La suite \left(v_{n}\right) converge donc vers 0 (voir limite d'une suite géométrique).
            D'après la formule u_{n}=\frac{1+v_{n}}{1-v_{n}} et les règles de calcul sur les limites, la suite \left(u_{n}\right) converge donc vers 1.
  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Suites et récurrence

Exercices

  • facileDémonstration par récurrence
  • moyenCroissance d'une suite
  • moyenDémonstration d'une conjecture par récurrence
  • moyenDéterminer l'expression d'un terme d'une suite en fonction de n
  • moyenRécurrence et encadrement
  • moyenSuite et récurrence - Exercice de synthèse
  • moyenSuites - Bac S Centres étrangers 2013
  • moyenSuites - Bac S Amérique du Nord 2013
  • moyenAlgorithmes - Bac S Amérique du Nord 2014
  • moyenSuites - Bac S Liban 2013
  • moyenSuites - Bac S Métropole 2013
  • moyenSuites - Bac S Polynésie 2013
  • moyenSuites - Bac S Polynésie 2014
  • moyenSuites - Bac S Pondichéry 2017
  • moyenSuites et récurrence - Bac S Métropole 2009
  • moyenSuite - Etude des variations - Convergence
  • difficileRécurrence : Calcul de sommes
  • difficileSuites - Récurrence - Limite
  • difficileVrai/Faux : Convergence d'une suite

Compléments

  • Fiche de révision BAC : les suites

Quiz

  • facileLimites de suites (1)

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok