Exercice 4 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Un volume constant de 2 200 m^{3} d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
- au départ, le bassin A contient 800 m^{3} d’eau et le bassin B contient 1 400 m^{3} d’eau ;
- tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
- tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
- a_{n} le volume d’eau, exprimé en m^{3}, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement;
- b_{n} le volume d’eau, exprimé en m^{3} , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de
fonctionnement.
On a donc a_{0} = 800 et b_{0} = 1 400.
- Par quelle relation entre a_{n} et b_{n} traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
- Justifier que, pour tout entier naturel n, a_{n+1} =\frac{3}{4}a_{n} + 330.
- L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle
a_{n} est supérieur ou égal à 1 100.
Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.Variables n est un entier naturel a est un réel Initialisation Affecter à n la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Traitement Tant que a < 1 100, faire : .........Affecter à a la valeur . . . .........Affecter à n la valeur n + 1 Fin Tant que Sortie Afficher n - Pour tout entier naturel n, on note u_{n} = a_{n}-1 320.
- Montrer que la suite \left(u_{n} \right) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
- Exprimer u_{n} en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, a_{n} = 1 320-520\times \left(\frac{3}{4}\right)^{n}.
- On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau.
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
Corrigé
Solution rédigée par Paki
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