Algorithmes - Bac S Amérique du Nord 2014

Exercice 4   (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un volume constant de 2 200 m^{3} d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

• au départ, le bassin A contient 800 m^{3} d’eau et le bassin B contient 1 400 m^{3} d’eau ;
• tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
• tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.

Pour tout entier naturel n, on note :

• a_{n} le volume d’eau, exprimé en m^{3}, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement;
• b_{n} le volume d’eau, exprimé en m^{3} , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de
  fonctionnement.

On a donc a_{0} = 800 et b_{0} = 1 400.

1. Par quelle relation entre a_{n} et b_{n} traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, a_{n+1} =\frac{3}{4}a_{n} + 330.
3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle
   a_{n} est supérieur ou égal à 1 100.
   Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.

   Variables	n est un entier naturel
   	a est un réel
   Initialisation	Affecter à n la valeur 0
   	Affecter à a la valeur 800
   Traitement	Tant que a < 1 100, faire :
   	.........Affecter à a la valeur . . .
   	.........Affecter à n la valeur n + 1
   	Fin Tant que
   Sortie	Afficher n

4. Pour tout entier naturel n, on note u_{n} = a_{n}-1 320.
   1. Montrer que la suite \left(u_{n} \right) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer u_{n} en fonction de n.
      En déduire que, pour tout entier naturel n, a_{n} = 1 320-520\times \left(\frac{3}{4}\right)^{n}.
   3. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau.
      Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.

   Corrigé

   Solution rédigée par Paki

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