Suites - Bac S Amérique du Nord 2013

Exercice 2   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=1 et, pour tout entier naturel n,
u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}}.

1. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	n est un entier naturel
   	u est un réel positif
   Initialisation :	Demander la valeur de n
   	Affecter à u la valeur 1
   Traitement :	Pour i variant de 1 à n :
   	...Affecter à u la valeur \sqrt{2u}
   	Fin de Pour
   Sortie :	Afficher u

   1. Donner une valeur approchée à 10^{-4} près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit n=3.
   2. Que permet de calculer cet algorithme?
   3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n.
      

      n	1	5	10	15	20
      Valeur affichée	1,4142	1,9571	1,9986	1,9999	1,9999

      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \left(u_{n}\right) ?

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 < u_{n}\leqslant 2.
   2. Déterminer le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right).
   3. Démontrer que la suite \left(u_{n}\right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
3. On considère la suite \left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=\ln u_{n}-\ln 2.
   1. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est la suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme
      v_{0} =-\ln 2.
   2. Déterminer, pour tout entier naturel n, l'expression de v_{n} en fonction de n, puis de u_{n} en fonction de n.
   3. Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
   4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que u_{n} > 1,999.

      Variables :	n est un entier naturel
      	u est un réel
      Initialisation :	Affecter à n la valeur 0
      	Affecter à u la valeur 1
      Traitement :
      Sortie :