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Terminale

moyenExercice corrigé

Suites - Bac S Amérique du Nord 2013

Exercice 2   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=1 et, pour tout entier naturel n,
u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}}.

  1. On considère l'algorithme suivant :
    Variables : n est un entier naturel
    u est un réel positif
    Initialisation : Demander la valeur de n
    Affecter à u la valeur 1
    Traitement : Pour i variant de 1 à n :
    ...Affecter à u la valeur \sqrt{2u}
    Fin de Pour
    Sortie : Afficher u
    1. Donner une valeur approchée à 10^{-4} près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit n=3.
    2. Que permet de calculer cet algorithme?
    3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n.
      n 1 5 10 15 20
      Valeur affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999

      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \left(u_{n}\right) ?

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 < u_{n}\leqslant 2.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right).
    3. Démontrer que la suite \left(u_{n}\right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
  2. On considère la suite \left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=\ln u_{n}-\ln 2.
    1. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est la suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme
      v_{0} =-\ln 2.
    2. Déterminer, pour tout entier naturel n, l'expression de v_{n} en fonction de n, puis de u_{n} en fonction de n.
    3. Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
    4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que u_{n} > 1,999.
      Variables : n est un entier naturel
      u est un réel
      Initialisation : Affecter à n la valeur 0
      Affecter à u la valeur 1
      Traitement :
      Sortie :

Corrigé

Solution rédigée par Paki
suites-bac-s-amerique-nord-2013
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