Exercice 2 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=1 et, pour tout entier naturel n,
u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}}.
- On considère l'algorithme suivant :
Variables : n est un entier naturel u est un réel positif Initialisation : Demander la valeur de n Affecter à u la valeur 1 Traitement : Pour i variant de 1 à n : ...Affecter à u la valeur \sqrt{2u} Fin de Pour Sortie : Afficher u - Donner une valeur approchée à 10^{-4} près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit n=3.
- Que permet de calculer cet algorithme?
- Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n.
n 1 5 10 15 20 Valeur affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999 Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \left(u_{n}\right) ?
-
- Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 < u_{n}\leqslant 2.
- Déterminer le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right).
- Démontrer que la suite \left(u_{n}\right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
- On considère la suite \left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=\ln u_{n}-\ln 2.
- Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est la suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme
v_{0} =-\ln 2. - Déterminer, pour tout entier naturel n, l'expression de v_{n} en fonction de n, puis de u_{n} en fonction de n.
- Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
- Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que u_{n} > 1,999.
Variables : n est un entier naturel u est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 1 Traitement : Sortie :
- Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est la suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme
Corrigé
Solution rédigée par Paki
suites-bac-s-amerique-nord-2013
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