Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
La suite \left(u_{n}\right) est définie pour tout nombre entier naturel n par :
\left\{ \begin{matrix} u_{0} = 5 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_{n}+1\end{matrix}\right.
Partie A
- On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N U prend la valeur 5 Pour i de 0 à N faire .........Affecter à U la valeur \frac{1}{2}\times U+1 Fin Pour Afficher U Fin Algorithme 1
Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Pour i de 0 à N faire .........U prend la valeur 5 .........Afficher U .........Affecter à U la valeur \frac{1}{2}\times U+1 Fin Pour Fin Algorithme 2
Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N U prend la valeur 5 Pour i de 0 à N faire .........Afficher U .........Affecter à U la valeur \frac{1}{2}\times U+1 Fin Pour Fin Algorithme 3
- On saisit la valeur 9 pour N, l'affichage est le suivant :
5 3,5 2,75 2,375 2,185 2,0938 2,0469 2,0234 2,0117 2,0059 Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?
Partie B
On introduit une suite auxiliaire \left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=u_{n}-2.
- Montrer que \left(v_{n}\right) est une suite géométrique. Préciser sa raison q et son premier terme v_{0}.
- Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a u_{n}=2+3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
- Étudier les variations de la suite \left(u_{n}\right).
- Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
- À partir de quel rang a-t-on : u_{n}-2 \leqslant 10^{-6} ?