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Tle Complément.

moyenExercice non corrigé

Suites - Bac ES/L Polynésie 2014

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

La suite \left(u_{n}\right) est définie pour tout nombre entier naturel n par :
\left\{ \begin{matrix} u_{0} = 5 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_{n}+1\end{matrix}\right.

Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
    Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
    Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.

    Variables U est un nombre réel
    i et N sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour N
    U prend la valeur 5
    Pour i de 0 à N faire
    .........Affecter à U la valeur \frac{1}{2}\times U+1
    Fin Pour
    Afficher U
    Fin

    Algorithme 1

    Variables U est un nombre réel
    i et N sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour N
    Pour i de 0 à N faire
    .........U prend la valeur 5
    .........Afficher U
    .........Affecter à U la valeur \frac{1}{2}\times U+1
    Fin Pour
    Fin

    Algorithme 2

    Variables U est un nombre réel
    i et N sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour N
    U prend la valeur 5
    Pour i de 0 à N faire
    .........Afficher U
    .........Affecter à U la valeur \frac{1}{2}\times U+1
    Fin Pour
    Fin

    Algorithme 3

  2. On saisit la valeur 9 pour N, l'affichage est le suivant :
    5 3,5 2,75 2,375 2,185 2,0938 2,0469 2,0234 2,0117 2,0059

    Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?

Partie B

On introduit une suite auxiliaire \left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=u_{n}-2.

  1. Montrer que \left(v_{n}\right) est une suite géométrique. Préciser sa raison q et son premier terme v_{0}.
  2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a u_{n}=2+3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
  3. Étudier les variations de la suite \left(u_{n}\right).
  4. Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
  5. À partir de quel rang a-t-on : u_{n}-2 \leqslant 10^{-6} ?
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Dans ce chapitre...

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