Suites - Bac ES/L Polynésie 2014

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

La suite \left(u_{n}\right) est définie pour tout nombre entier naturel n par :
\left\{ \begin{matrix} u_{0} = 5 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_{n}+1\end{matrix}\right.

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
   Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
   Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.

   Variables	U est un nombre réel
   	i et N sont des nombres entiers
   Début	Saisir une valeur pour N
   	U prend la valeur 5
   	Pour i de 0 à N faire
   	.........Affecter à U la valeur \frac{1}{2}\times U+1
   	Fin Pour
   	Afficher U
   Fin

   Algorithme 1

   Variables	U est un nombre réel
   	i et N sont des nombres entiers
   Début	Saisir une valeur pour N
   	Pour i de 0 à N faire
   	.........U prend la valeur 5
   	.........Afficher U
   	.........Affecter à U la valeur \frac{1}{2}\times U+1
   	Fin Pour
   Fin

   Algorithme 2

   Variables	U est un nombre réel
   	i et N sont des nombres entiers
   Début	Saisir une valeur pour N
   	U prend la valeur 5
   	Pour i de 0 à N faire
   	.........Afficher U
   	.........Affecter à U la valeur \frac{1}{2}\times U+1
   	Fin Pour
   Fin

   Algorithme 3

2. On saisit la valeur 9 pour N, l'affichage est le suivant :
   

   5

   3,5

   2,75

   2,375

   2,185

   2,0938

   2,0469

   2,0234

   2,0117

   2,0059

   Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?

Partie B

On introduit une suite auxiliaire \left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=u_{n}-2.

1. Montrer que \left(v_{n}\right) est une suite géométrique. Préciser sa raison q et son premier terme v_{0}.
2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a u_{n}=2+3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
3. Étudier les variations de la suite \left(u_{n}\right).
4. Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
5. À partir de quel rang a-t-on : u_{n}-2 \leqslant 10^{-6} ?