Exercice 2 (5 points)
Commun à tous les candidats
Partie A
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=10 et pour tout entier naturel n,
u_{n+1}=0,9u_{n}+1,2
- On considère la suite \left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel n par v_{n}=u_{n}-12.
- Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
- Exprimer v_{n} en fonction de n.
- En déduire que pour tout entier naturel n : u_{n}=12-2\times 0,9^{n}.
- Déterminer la limite de la suite \left(v_{n}\right) et en déduire celle de la suite \left(u_{n}\right).
Partie B
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
- 10% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
- 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
- Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite \left(u_{n}\right) où u_{n} désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012+n.
- Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année 2012+n.VARIABLES
a, i, n
INITIALISATION
Choisir n
a prend la valeur 10
TRAITEMENT
Pour i allant de 1 à n
...a prend la valeur ....
SORTIE
Afficher a -
- Résoudre l'inéquation 12-2\times 0,9^{n} > 11,5.
- En donner une interprétation.