Suites - Bac ES/L Amérique du Nord 2014

Exercice 4   (5 points)

Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L

Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée u où u_{n} désigne le nombre d'arbres au cours de l'année (2013+n) .
En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.

1. 1. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.
   2. Montrer que la suite u est définie par u_{0}=50 000 et pour tout entier naturel n par la relation
      u_{n+1}=0,95u_{n}+ 3 000.
2. On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par v_{n} =60 000- u_{n}.
   1. Montrer que la suite v est une suite géométrique de raison 0,95.
      Déterminer son premier terme.
   2. Exprimer v_{n} en fonction de n.
   3. En déduire que pour tout entier naturel n, u_{n}=10 000\left(6-0,95^{n}\right).
   4. Déterminer la limite de la suite u.
   5. Interpréter le résultat précédent.
3. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation u_{n} \geqslant 57 000
   2. Interpréter ce résultat.
4. 1. On souhaite écrire un algorithme affichant pur un entier naturel n donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.

      Variables :	A, U, N sont des nombres
      Début de l'algorithme :	Saisir la valeur de A
      	N prend la valeur 0
      	U prend la valeur 50 000
      	Tant que U < A
      	.........N prend la valeur N+1
      	.........U prend la valeur 0,95 U+3 000
      	Fin tant que
      	Afficher N
      Fin algorithme

      Algorithme 1

      Variables :	U, I, N sont des nombres
      Début de l'algorithme :	Saisir la valeur de N
      	U prend la valeur 50 000
      	Pour I variant de 1 à N
      	.........U prend la valeur 0,95 U+3 000
      	Fin Pour
      	Afficher U
      Fin algorithme

      Algorithme 2

      Variables :	U, I, N sont des nombres
      Début de l'algorithme :	Saisir la valeur de N
      	U prend la valeur 50 000
      	Pour I variant de 1 à N
      	.........Afficher U
      	.........U prend la valeur 0,95 U+3 000
      	Fin Pour
      	Afficher U
      Fin algorithme

      Algorithme 3

   2. Lorsque A=57 000 l'algorithme 1 affiche 24. interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.