Exercice 4 (5 points)
Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L
Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée u où u_{n} désigne le nombre d'arbres au cours de l'année (2013+n) .
En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.
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- Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.
- Montrer que la suite u est définie par u_{0}=50 000 et pour tout entier naturel n par la relation
u_{n+1}=0,95u_{n}+ 3 000.
- On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par v_{n} =60 000- u_{n}.
- Montrer que la suite v est une suite géométrique de raison 0,95.
Déterminer son premier terme. - Exprimer v_{n} en fonction de n.
- En déduire que pour tout entier naturel n, u_{n}=10 000\left(6-0,95^{n}\right).
- Déterminer la limite de la suite u.
- Interpréter le résultat précédent.
- Montrer que la suite v est une suite géométrique de raison 0,95.
- Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation u_{n} \geqslant 57 000
- Interpréter ce résultat.
- On souhaite écrire un algorithme affichant pur un entier naturel n donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.
Variables : A, U, N sont des nombres Début de l'algorithme : Saisir la valeur de A N prend la valeur 0 U prend la valeur 50 000 Tant que U < A .........N prend la valeur N+1 .........U prend la valeur 0,95 U+3 000 Fin tant que Afficher N Fin algorithme Algorithme 1
Variables : U, I, N sont des nombres Début de l'algorithme : Saisir la valeur de N U prend la valeur 50 000 Pour I variant de 1 à N .........U prend la valeur 0,95 U+3 000 Fin Pour Afficher U Fin algorithme Algorithme 2
Variables : U, I, N sont des nombres Début de l'algorithme : Saisir la valeur de N U prend la valeur 50 000 Pour I variant de 1 à N .........Afficher U .........U prend la valeur 0,95 U+3 000 Fin Pour Afficher U Fin algorithme Algorithme 3
- Lorsque A=57 000 l'algorithme 1 affiche 24. interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.