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Tle Complément.

moyenExercice corrigé

Suites - Bac blanc ES/L Sujet 3 - Maths-cours 2018

Exercice 2 (6 points)

L'objectif de ce problème est d'étudier la convergence de la suite (u_n) définie par u_0=2 et pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = 0,9u_n+2.

Partie A
Étude graphique

Sur le graphique fourni en Annexe (voir ci-dessous), on a représenté les droites D et \Delta d'équations respectives y=0,9x+2 et y=x.

Ces deux droites se coupent en un point M.

  1. Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point M.

  2. A_0 est le point de la droite D d'abscisse u_0=2.

    Expliquer pourquoi l'ordonnée de A_0 est égale à u_1.

  3. B_1 est le point de la droite \Delta tel que la droite (A_0B_1) est parallèle à l'axe des abscisses.

    Exprimer, en fonction de u_1, les coordonnées de B_1.

  4. Compléter le graphique de l'annexe de manière à faire apparaître, sur l'axe des abscisses, les valeurs de u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4,\ u_5 et u_6.

  5. À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (u_n).

Partie B
Utilisation d'une suite annexe

Pour tout entier naturel n, on pose v_n=u_n-20.

  1. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

  2. Exprimer v_n en fonction de n.

  3. Montrer que pour tout entier naturel n :

    u_n=20-18 \times 0,9^n.
  4. En déduire la limite de la suite (u_n).


ANNEXE

À rendre avec la copie

Suite récurrente - Bac blanc


Corrigé

Partie A

  1. Le point M est le point d'intersection des droites D et \Delta d'équations y=0,9x+2 et y=x.

    Son abscisse x_M est donc solution de l'équation 0,9x_M+2 = x_M.

    0,9x_M+2 = x_M\ \Leftrightarrow \ 2=x_M-0,9x_M

    \phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ 2=0,1x_M

    \phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ \dfrac{2}{0,1}=x_M

    \phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ x_M=20.

    Comme le point M est situé sur la droite \Delta d'équation y=x son ordonnée est y_M=x_M=20.

    Les coordonnées de M sont donc (20~;~20).

  2. Le point A_0 est situé sur la droite D d'équation y=0,9x+2.

    Son abscisse est u_0 ; son ordonnée est donc :

    y_{A_0}=0,9u_0+2

    Or, d'après la définition de la suite (u_n) : u_1=0,9u_0+2 ; par conséquent y_{A_0}=u_1.

    L'ordonnée de A_0 est donc u_1.

  3. La droite (A_0B_1) est parallèle à l'axe des abscisses donc l'ordonnée de B_1 est égale à l'ordonnée de A_0 c'est à dire u_1.

    Comme le point B_1 appartient à la droite \Delta d'équation y=x :

    y_{B_1}=x_{B_1}=u_1

    Les coordonnées du point B sont (u_1~;~u_1).

    On réitère la procédure de la manière suivante :

    • on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point B_1 ; cette droite coupe D en un point A_1(u_1~;~u_2)

    • on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point A_1 ; cette droite coupe D en un point B_2(u_2~;~u_2)

    et ainsi de suite...

    On obtient ainsi le graphique ci-après :

    Construction des termes d'une suite récurrente

    {\footnotesize (Les ordonnées des points n'ont pas été indiquées pour ne pas surcharger la figure)}

  4. On conjecture que lorsque n augmente, les points A_n et B_n se rapprochent du point M et donc que :

    \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n =20.

Partie B

Reportez-vous à la \hyperlink{suite-ag-pap}{page \pageref*{suite-ag-pap}} « Étude d'une suite arithmético-géométrique étape par étape » si vous souhaitez plus d'informations sur la méthode utilisée dans cette partie.

  1. Pour tout entier naturel n :

    v_{n+1}=u_{n+1}-20

    \phantom{v_{n+1}}=0,9u_n+2-20

    \phantom{v_{n+1}}=0,9u_n-18.

    Or v_n=u_n-20 donc u_n=v_n+20 ; alors :

    v_{n+1}=0,9(v_n+20)-18

    \phantom{v_{n+1}}=0,9v_n+18-18

    \phantom{v_{n+1}}=0,9v_n.

    De plus {v_0=u_0-20=2-20=-18} ; par conséquent, la suite (v_n) est une suite géométrique de premier terme {v_0=-18} et de raison {q=0,9}.

  2. On en déduit que :

    v_n=v_0q^n=-18 \times 0,9^n.

  3. En utilisant la question précédente et la relation u_n=v_n+20 on obtient, pour tout entier naturel n :

    u_n=v_n+20=20-18 \times 0,9^n.

  4. {0 \leqslant 0,9 < 1}\ donc \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,9^n = 0.

    Alors :

    \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}18 \times 0,9^n = 0\ et \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}20-18 \times 0,9^n = 20.

    La suite (u_n) converge vers 20.

    À retenir

    Soit q un nombre réel positif ou nul.

    • Si 0 \leqslant q < 1, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=0.

    • Si q > 1, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty.

    (Remarque : si q=1 alors q^n=1 pour tout entier naturel n, donc \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=1).

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