Exercice corrigéExercice 2 (6 points)
L'objectif de ce problème est d'étudier la convergence de la suite (u_n) définie par u_0=2 et pour tout entier naturel n :
Partie A
Étude graphique
Sur le graphique fourni en Annexe (voir ci-dessous), on a représenté les droites D et \Delta d'équations respectives y=0,9x+2 et y=x.
Ces deux droites se coupent en un point M.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point M.
A_0 est le point de la droite D d'abscisse u_0=2.
Expliquer pourquoi l'ordonnée de A_0 est égale à u_1.
B_1 est le point de la droite \Delta tel que la droite (A_0B_1) est parallèle à l'axe des abscisses.
Exprimer, en fonction de u_1, les coordonnées de B_1.
Compléter le graphique de l'annexe de manière à faire apparaître, sur l'axe des abscisses, les valeurs de u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4,\ u_5 et u_6.
À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (u_n).
Partie B
Utilisation d'une suite annexe
Pour tout entier naturel n, on pose v_n=u_n-20.
Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Exprimer v_n en fonction de n.
Montrer que pour tout entier naturel n :
u_n=20-18 \times 0,9^n.En déduire la limite de la suite (u_n).
ANNEXE
À rendre avec la copie
Corrigé
Partie A
Le point M est le point d'intersection des droites D et \Delta d'équations y=0,9x+2 et y=x.
Son abscisse x_M est donc solution de l'équation 0,9x_M+2 = x_M.
0,9x_M+2 = x_M\ \Leftrightarrow \ 2=x_M-0,9x_M
\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ 2=0,1x_M
\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ \dfrac{2}{0,1}=x_M
\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ x_M=20.
Comme le point M est situé sur la droite \Delta d'équation y=x son ordonnée est y_M=x_M=20.
Les coordonnées de M sont donc (20~;~20).
Le point A_0 est situé sur la droite D d'équation y=0,9x+2.
Son abscisse est u_0 ; son ordonnée est donc :
y_{A_0}=0,9u_0+2
Or, d'après la définition de la suite (u_n) : u_1=0,9u_0+2 ; par conséquent y_{A_0}=u_1.
L'ordonnée de A_0 est donc u_1.
La droite (A_0B_1) est parallèle à l'axe des abscisses donc l'ordonnée de B_1 est égale à l'ordonnée de A_0 c'est à dire u_1.
Comme le point B_1 appartient à la droite \Delta d'équation y=x :
y_{B_1}=x_{B_1}=u_1
Les coordonnées du point B sont (u_1~;~u_1).
On réitère la procédure de la manière suivante :
on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point B_1 ; cette droite coupe D en un point A_1(u_1~;~u_2)
on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point A_1 ; cette droite coupe D en un point B_2(u_2~;~u_2)
et ainsi de suite...
On obtient ainsi le graphique ci-après :
{\footnotesize (Les ordonnées des points n'ont pas été indiquées pour ne pas surcharger la figure)}
On conjecture que lorsque n augmente, les points A_n et B_n se rapprochent du point M et donc que :
\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n =20.
Partie B
Reportez-vous à la \hyperlink{suite-ag-pap}{page \pageref*{suite-ag-pap}} « Étude d'une suite arithmético-géométrique étape par étape » si vous souhaitez plus d'informations sur la méthode utilisée dans cette partie.
Pour tout entier naturel n :
v_{n+1}=u_{n+1}-20
\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n+2-20
\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n-18.
Or v_n=u_n-20 donc u_n=v_n+20 ; alors :
v_{n+1}=0,9(v_n+20)-18
\phantom{v_{n+1}}=0,9v_n+18-18
\phantom{v_{n+1}}=0,9v_n.
De plus {v_0=u_0-20=2-20=-18} ; par conséquent, la suite (v_n) est une suite géométrique de premier terme {v_0=-18} et de raison {q=0,9}.
On en déduit que :
v_n=v_0q^n=-18 \times 0,9^n.
En utilisant la question précédente et la relation u_n=v_n+20 on obtient, pour tout entier naturel n :
u_n=v_n+20=20-18 \times 0,9^n.
{0 \leqslant 0,9 < 1}\ donc \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,9^n = 0.
Alors :
\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}18 \times 0,9^n = 0\ et \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}20-18 \times 0,9^n = 20.
La suite (u_n) converge vers 20.
À retenir
Soit q un nombre réel positif ou nul.
Si 0 \leqslant q < 1, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=0.
Si q > 1, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty.
(Remarque : si q=1 alors q^n=1 pour tout entier naturel n, donc \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=1).