Exercice corrigéExercice 4 (5 points)
On considère la suite (u_n) définie par u_0=250 et, pour tout entier naturel n :
Calculer u_1 et u_2.
Compléter l'algorithme ci-après afin qu'il affiche le plus petit entier naturel n tel que u_n \geqslant 290.
Soit la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par :
v_n=u_n-300.Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Exprimer v_n en fonction de n.
En déduire que pour tout entier naturel n :
u_n=300-50 \times 0,8^n.
À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur affichée par l'algorithme de la question 2.
Une ville organise chaque année un tournoi d'Échecs. En 2016, 200 joueurs ont participé à ce tournoi. Les organisateurs font l'hypothèse que, d'une année sur l'autre :
20% des joueurs ne reviennent pas l'année suivante,
60 nouveaux joueurs s'inscrivent au tournoi.
La taille de la salle dans laquelle se déroule le tournoi limite le nombre de joueurs à 320. Les organisateurs vont-ils devoir refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir ? Justifier la réponse.
Corrigé
Pour tout entier naturel n, {u_{n+1}=0,8u_n+60} ; par conséquent :
u_{1}=0,8u_0+60=0,8 \times 250+60=260.
u_{2}=0,8u_1+60=0,8 \times 260+60=268.
L'algorithme peut être complété de la façon suivante :
(Attention au sens de la condition « Tant que {U < 290} ». On veut que la boucle « Tant que » se termine lorsque U \geqslant 290 ; on souhaite donc qu'elle continue à s'effectuer dans le cas contraire, c'est à dire tant que U < 290.)
Pour tout entier naturel n, v_{n}= u_{n}-300 ; par conséquent :
v_{n+1}= u_{n+1}-300.
Comme u_{n+1}=0,8u_n + 60 :
v_{n+1} = 0,8u_n+60-300
\phantom{v_{n+1}} = 0,8u_n-240.Puisque v_{n}= u_{n}-300, alors u_{n}= v_{n}+300. On en déduit :
v_{n+1} = 0,8(v_n+300)-240
\phantom{v_{n+1}} = 0,8v_n+240-240
\phantom{v_{n+1}} = 0,8v_n.Par ailleurs :
v_{0}= u_{0}-300=250-300=-50.
La suite (v_n) est une suite géométrique de premier terme {v_0=-50} et de raison 0,8.
La suite (v_n) étant une suite géométrique :
v_n=v_0q^n=-50 \times 0,8^n.
D'après les questions précédentes :
u_{n}= v_{n}+300 = 300 -50 \times 0,8^n.
À la calculatrice, on affiche un tableau de valeurs de la fonction x \longmapsto 300 -50 \times 0,8^x.
On trouve alors :
u_7 \approx 289,51 \quad et \quad u_8 \approx 291,61
L'algorithme affiche le plus petit entier naturel n tel que u_n \geqslant 290. L'algorithme affichera donc la valeur 8.
Notons a_n le nombre de joueurs inscrits au tournoi l'année 2016+n.
En 2016, 250 joueurs ont participé au tournoi donc a_0=250.
Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de {1-\dfrac{20}{100}=0,8} ; on ajoute ensuite les 60 nouveaux inscrits.
On a donc :
a_{n+1}=0,8a_n+60.Les suites (u_n) et (a_n) sont définies par la même relation de récurrence et le même premier terme ; elles sont donc identiques.
Par conséquent, d'après la question 3.c. :
a_{n}= 300 -50 \times 0,8^n.
Comme 50 \times 0,8^n est strictement positif pour tout entier n, le nombre 300 -50 \times 0,8^n est strictement inférieur à 300.
Quelle que soit l'année, le nombre d'inscrits sera inférieur à 300. Les organisateurs n'auront donc pas à refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir.