Suites - Bac S Centres étrangers 2013

Exercice 4  (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite \left(u_{n}\right) définie par son premier terme u_{1}=\frac{3}{2} et la relation de récurrence : u_{n+1} =\frac{nu_{n}+1}{2\left(n+1\right)}.

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme u_{9} de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.
Il a oublié de compléter deux lignes.

1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de u_{2} jusqu'à u_{9} ?
3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
   

   n	1	2	3	4	5	6	...	99	100
   u_{n}	1,5	0,625	0,375	0,2656	0,2063	0,1693	...	0,0102	0,0101

   Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite \left(u_{n}\right).

Partie B - Étude mathématique

On définit une suite auxiliaire \left(v_{n}\right) par : pour tout entier n\geqslant 1, v _{n}=nu_{n} -1.

1. Montrer que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
2. En déduire que, pour tout entier naturel n\geqslant 1, on a : u_{n}=\frac{1+\left(0,5\right)^{n}}{n}.
3. Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
4. Justifier que, pour tout entier n\geqslant 1 , on a : u_{n+1}-u_{n}=-\frac{1+\left(1+0,5n\right)\left(0,5\right)^{n}}{n\left(n+1\right)}.
   En déduire le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right).

Partie C - Retour à l'algorithmique

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier n tel que u_{n} < 0,001.