Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite \left(u_{n}\right) définie par son premier terme u_{1}=\frac{3}{2} et la relation de récurrence : u_{n+1} =\frac{nu_{n}+1}{2\left(n+1\right)}.
Partie A - Algorithmique et conjectures
Pour calculer et afficher le terme u_{9} de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.
Il a oublié de compléter deux lignes.
Variables | n est un entier naturel |
u est un réel | |
Initialisation | Affecter à n la valeur 1 |
Affecter à u la valeur 1,5 | |
Traitement | Tant que n < 9 |
...Affecter à u la valeur ... | |
...Affecter à n la valeur ... | |
Fin Tant que | |
Sortie | Afficher la variable u |
- Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
- Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de u_{2} jusqu'à u_{9} ?
- Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
n 1 2 3 4 5 6 ... 99 100 u_{n} 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 ... 0,0102 0,0101 Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite \left(u_{n}\right).
Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire \left(v_{n}\right) par : pour tout entier n\geqslant 1, v _{n}=nu_{n} -1.
- Montrer que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
- En déduire que, pour tout entier naturel n\geqslant 1, on a : u_{n}=\frac{1+\left(0,5\right)^{n}}{n}.
- Déterminer la limite de la suite \left(u_{n}\right).
- Justifier que, pour tout entier n\geqslant 1 , on a : u_{n+1}-u_{n}=-\frac{1+\left(1+0,5n\right)\left(0,5\right)^{n}}{n\left(n+1\right)}.
En déduire le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right).
Partie C - Retour à l'algorithmique
En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier n tel que u_{n} < 0,001.