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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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QCM spécialité - Bac S Liban 2008

Exercice 2

5 points-Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

  1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O;u,v)\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right), on considère la similitude directe ff d'écriture complexe z32(1i)z+42iz\mapsto \frac{3}{2} \left(1 - i\right)z+4 - 2i

    Proposition 1 : «f=rhf=r \circ h où h est l'homothétie de rapport 3223\frac{\sqrt{2}}{2} et de centre le point Ω\Omega d'affixe 22i - 2 - 2 i et où r est la rotation de centre Ω\Omega et d'angle π4\frac{\pi }{4}».

  2. Pour tout entier naturel n non nul :

    Proposition 2 : « 56n+1+23n+15^{6n+1}+2^{3n+1} est divisible par 5 ».

    Proposition 3 : « 56n+1+23n+15^{6n+1}+2^{3n+1} est divisible par 7 ».

  3. Dans le plan muni d'un repère, (D) est la droite d'équation 11x5y=1411x - 5y=14 .

    Proposition 4 : « les points de (D) à coordonnées entières sont les points de coordonnées (5k+14; 11k+28) où kZk\in \mathbb{Z}».

  4. L'espace est rapporté à un repère orthonormal (0;i,j,k)\left(0;\vec{i} ,\vec{j}, \vec{k}\right). La surface Σ\Sigma ci-dessous a pour équation z=x2+y2z=x^{2} +y^{2}

    surface 3D

    Proposition 5 : « la section de la surface Σ\Sigma et du plan d'équation x=A, où A est un réel, est une hyperbole ».

    Proposition 6 : « le plan d'équation z=922z=\frac{9\sqrt{2}}{2} partage le solide délimité par Σ\Sigma et le plan d'équation z=9z=9 en deux solides de même volume ».

    Rappel : Soit V le volume du solide délimité par Σ\Sigma et les plans d'équations z=az=a et z=bz=b0ab90\leqslant a \leqslant b \leqslant 9. V est donné par la formule V=abS(k)dk\int_{a}^{b} S\left(k\right)dkS(k)S\left(k\right) est l'aire de la section du solide par le plan d'équation z=kz=kk[a;b]k\in \left[a; b\right].