Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Terminale

moyenExercice corrigé

QCM Géometrie dans l'espace - Bac S Liban 2013

Exercice 1   (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right).
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A\left(1 ; -1 ; 2\right), B\left(3 ; 3 ; 8\right), C\left(-3 ; 5 ; 4\right) et D\left(1 ; 2 ; 3\right).
On note \mathscr D la droite ayant pour représentation paramétrique
\left\{ \begin{matrix} x=t+1 \\ y=2t-1 \\ z=3t+2 \end{matrix}\right. t \in \mathbb{R}
et \mathscr D ^{\prime} la droite ayant pour représentation paramétrique
\left\{ \begin{matrix} x=k+1 \\ y=k+3 \\ z=-k+4 \end{matrix}\right. k \in \mathbb{R}.
On note \mathscr P le plan d'équation x+y-z+2=0.

Question 1 :

Proposition a. Les droites \mathscr D et \mathscr D ^{\prime} sont parallèles.
Proposition b. Les droites \mathscr D et \mathscr D ^{\prime} sont coplanaires.
Proposition c. Le point C appartient à la droite \mathscr D.
Proposition d. Les droites \mathscr D et \mathscr D ^{\prime} sont orthogonales.

Question 2 :

Proposition a. Le plan \mathscr P contient la droite \mathscr D et est parallèle à la droite \mathscr D ^{\prime}.
Proposition b. Le plan \mathscr P contient la droite \mathscr D ^{\prime} et est parallèle à la droite \mathscr D.
Proposition c. Le plan \mathscr P contient la droite \mathscr D et est orthogonal à la droite \mathscr D ^{\prime}.
Proposition d. Le plan \mathscr P contient les droites \mathscr D et \mathscr D ^{\prime}.

Question 3 :

Proposition a. Les points A, D et C sont alignés.
Proposition b. Le triangle ABC est rectangle en A.
Proposition c. Le triangle ABC est équilatéral.
Proposition d. Le point D est le milieu du segment \left[AB\right].

Question 4 :

On note \mathscr P ^{\prime} le plan contenant la droite \mathscr D ^{\prime} et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :
Proposition a. \vec{n} \left(-1 ; 5 ; 4\right)
Proposition b. \vec{n} \left(3 ; -1 ; 2\right)
Proposition c. \vec{n} \left(1 ; 2 ; 3\right)
Proposition d. \vec{n} \left(1 ; 1 ; -1\right)

Corrigé

Question 1 :

Proposition d. Les droites \mathscr D et \mathscr D ^{\prime} sont orthogonales.
Un vecteur directeur de \mathscr D est \vec{u}\left(1 ; 2 ; 3\right); un vecteur directeur de \mathscr D ^{\prime} est \vec{u}^{\prime}\left(1 ; 1 ; -1\right);
\vec{u}.\vec{u}^{\prime}=1\times 1+2\times 1+3\times \left(-1\right)=0
Les vecteurs \vec{u} et \vec{u}^{\prime} sont orthogonaux donc les droites \mathscr D et \mathscr D ^{\prime} sont orthogonales.

Question 2 :

Proposition c. Le plan \mathscr P contient la droite \mathscr D et est orthogonal à la droite \mathscr D ^{\prime}.
Si M\left(x ; y ; z\right) \in \mathscr D, il existe un réel t tel que \left\{ \begin{matrix} x=t+1 \\ y=2t-1 \\ z=3t+2 \end{matrix}\right.
On a alors x+y-z+2=t+1+\left(2t-1\right)-\left(3t+2\right)+2=0 donc M\left(x ; y ; z\right) \in \mathscr P.
Le plan \mathscr P contient donc la droite \mathscr D.
\vec{u}^{\prime}\left(1 ; 1 ; -1\right) est un vecteur directeur de \mathscr D ^{\prime} et un vecteur normal de \mathscr P donc le plan \mathscr P est orthogonal à la droite \mathscr D ^{\prime}.

Question 3 :

Proposition c. Le triangle ABC est équilatéral.

On a : \overrightarrow{AB}\left(2 ; 4 ; 6\right) , \overrightarrow{BC} \left(-6 ; 2 ; -4\right) , \overrightarrow{AC}\left(-4 ; 6 ; 2\right)
AB=\sqrt{2^{2}+ 4^{2}+ 6^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}
BC=\sqrt{\left(-6\right)^{2}+ 2^{2}+ \left(-4\right)^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}
AC=\sqrt{\left(-4\right)^{2}+ 6^{2}+ \left(2\right)^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}
donc le triangle ABC est équilatéral.

Question 4 :

Proposition b. \vec{n} \left(3 ; -1 ; 2\right)
Prenons un point quelconque de \mathscr D ^{\prime} par exemple E\left(1 ; 3 ; 4\right) (il correspond à k=0).
Le vecteur \overrightarrow{AE} \left(0, 4, 2\right) est un vecteur du plan \mathscr P ^{\prime}.
\vec{u}^{\prime}\left(1 ; 1 ; -1\right) est un vecteur directeur de \mathscr D ^{\prime} donc lui aussi un vecteur du plan \mathscr P ^{\prime}.
\overrightarrow{AE} et \vec{u}^{\prime} ne sont pas colinéaires.

Pour \vec{n} \left(3 ; -1 ; 2\right):
\overrightarrow{AE}.\vec{n}=0\times 3+4\times \left(-1\right)+2\times 2=0
\vec{u}^{\prime}.\vec{n}=1\times 3+1\times \left(-1\right)+\left(-1\right)\times 2=0
\vec{n} \left(3 ; -1 ; 2\right) est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires de \mathscr P ^{\prime} donc c'est un vecteur normal à \mathscr P ^{\prime}.

  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace

Exercices

  • facilePlans orthogonaux
  • moyenEquations de plans - Bac S Métropole 2008
  • moyenGéométrie analytique - Bac S Centres étrangers 2009
  • moyenGéométrie analytique Cube - Bac S Liban 2009
  • moyenGéometrie dans l'espace - Bac S Amérique du Nord 2013
  • moyenGéométrie dans l'espace – Bac S Pondichéry 2016
  • moyenProduit scalaire dans l'espace - Bac S - Amérique du Nord 2008
  • moyenQCM Géométrie dans l'espace - Bac S Antilles Guyane 2013
  • moyenQCM Géometrie dans l'espace - Bac S Centres étrangers 2013
  • moyenQCM Géometrie dans l'espace - Bac S Pondichéry 2013
  • difficileGéométrie dans l'espace - Bac S Métropole 2014

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter