Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse inexacte ou non justifiée ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. Un type d'oscilloscope a une durée de vie, exprimée en année, qui peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

   On sait que la durée de vie moyenne de ce type d'oscilloscope est de $8$ ans.

   Affirmation 1 : pour un oscilloscope de ce type choisi au hasard et ayant déjà fonctionné $3$ ans, la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à $10$ ans, arrondie au centième, est égale à $0,42$.

   On rappelle que si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a pour tout réel $t$ positif :

   $P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{ - \lambda t}$.

2. En 2016, en France, les forces de l'ordre ont réalisé $9,8$ millions de dépistages d'alcoolémie auprès des automobilistes, et 3,1 % de ces dépistages étaient positifs.
   Source : OFDT (Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies)

   Dans une région donnée, le 15 juin 2016, une brigade de gendarmerie a effectué un dépistage sur $200$ automobilistes.

   Affirmation 2 : en arrondissant au centième, la probabilité que, sur les $200$ dépistages, il y ait eu strictement plus de $5$ dépistages positifs, est égale à $0,59$.

3. On considère dans $\mathbb{R}$ l'équation :

   $\ln (6 x - 2) + \ln (2x - 1) = \ln (x).$

   Affirmation 3 : l'équation admet deux solutions dans l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.

4. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation :

   $\left(4z^2 - 20z + 37\right)(2z - 7 + 2\text{i}) = 0.$

   Affirmation 4 : les solutions de l'équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle de centre le point P d'affixe $2$.