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QCM - Bac blanc ES/L Sujet 2 - Maths-cours 2018

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte en justifiant le choix effectué.

Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Corrigé

  • Question 1 :

    Réponse correcte : c.

    pB(A)=p(A∩B)p(B)=0,40,5=0,8p_B(A)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}=\dfrac{0,4}{0,5}=0,8.

    Remarque

    Les réponses a. et b. sont incorrectes. En effet : p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)
    p(A∪B)=0,7+0,5−0,4=0,8.\phantom{p(A \cup B)}= 0,7 + 0,5 - 0,4 = 0,8.

    pA(B)=p(A∩B)p(A)=0,40,7=47 p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}=\dfrac{0,4}{0,7}=\dfrac{4}{7}.

    À retenir

    Quels que soient les événements AA et BB :

    • p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)

    • pA(B)=p(A∩B)p(A)p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}.

  • Question 2 :

    Réponse correcte : a.

    ff est une fonction polynôme donc ff est dérivable sur R\mathbb{R} et :

    f′(x)=3x2−4x−1f^{\prime}(x)=3x^2 - 4x - 1.

    L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de ff au point AA d'abscisse 00 est :

    y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f^{\prime}(0)(x - 0)+f(0).

    Or:

    f(0)=03+2×02−0+1=1f(0)=0^3+2 \times 0^2 - 0 + 1 =1

    f′(0)=3×02−4×0−1=−1f^{\prime}(0)=3 \times 0^2 - 4 \times 0 - 1 = - 1.

    L'équation cherchée est donc :

    y=−1(x−0)+1y= - 1(x - 0)+1

    y=−x+1y= - x+1.

    À retenir

    L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de ff au point d'abscisse \bm{a} est :

    y=f′(a)(x−a)+f(a). y=f^{\prime}(a)(x - a)+f(a).

  • Question 3 :

    Réponse correcte : b.

    Soit XX la variable aléatoire comptabilisant le nombre de « 6 » obtenus.

    XX suit une loi binomiale de paramètres n=3n=3 (nombre de dés) et p=16p=\dfrac{1}{6} (probabilité d'obtenir un « 6 »)

    La probabilité demandée est la probabilité de l'événement (X⩾1){(X \geqslant 1)}. L'événement contraire de (X⩾1){(X \geqslant 1)} est (X<1){(X < 1)} qui équivaut à (X=0){(X = 0)}.

    Par conséquent :

    p=p(X⩾1)=1−p(X=0)p=p(X \geqslant 1)=1 - p(X=0).

    Or:

    p(X=0)=(30)×(16)0×(56)3p(X=0) = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^0 \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^3=(56)3≈0,58 = \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 \approx 0,58 (à 10−210^{ - 2} près).

    Remarque

    On peut également utiliser la calculatrice pour calculer p(X=0)p(X=0) (par exemple BinomFdP(3, 1/6, 0) sur TI ou BinomialPD(0, 3, 1/6) sur Casio).

    Par conséquent :

    p≈0,42p \approx 0,42 (à 10−210^{ - 2} près)

    À retenir

    L'événement contraire de l'événement « obtenir au moins un six » est « n'obtenir aucun six ».

  • Question 4 :

    Réponse correcte : b.

    Sur l'intervalle [0 ; 3][0~;~3], ff est continue et strictement décroissante. 3 appartient à l'intervalle [−2 ; 5][ - 2~;~5] donc l'équation f(x)=3{f(x)=3} admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 3][0~;~3] (théorème de la bijection aussi appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).

    Bien rédiger

    Pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution il est important de préciser que :

    • la fonction ff est continue,

    • la fonction ff est strictement monotone.

    Sur l'intervalle [3 ; 10][3~;~10], le maximum de ff est 1 donc l'équation f(x)=3{f(x)=3} n'a pas de solution sur cet intervalle.

    Bien rédiger

    Pour montrer que l'équation f(x)=kf(x)=k n'admet pas de solution sur un intervalle II, il suffit d'indiquer que le maximum de ff sur II est strictement inférieur à kk ou que le minimum de ff sur II est strictement supérieur à kk.

    On n'utilise pas, dans ce cas, le théorème des valeurs intermédiaires (que l'on emploie, au contraire, lorsque l'on souhaite prouver qu'il y a une ou plusieurs solution(s) sur un intervalle).

    Par conséquent, l'équation f(x)=3f(x)=3 admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 10][0~;~10].

  • Question 5 :

    Réponse correcte : b.

    La relation un+1=2unu_{n+1}=2u_n, pour tout entier naturel nn, montre que la suite (un)(u_n) est une suite géométrique de raison q=2q=2.

    On a donc, pour tout entier naturel nn :

    un=u0qn=2n u_n=u_0q^n=2^n

    La somme SS vaut alors :

    S=1+2+22+⋯+210=1−2111−2S=1+2+2^2+\cdots+2^{10}=\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2}=211−1=2 047=2^{11} - 1=2\ 047.

    À retenir

    La formule suivante permet de calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique :

    1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q. 1+q+q^2+\cdots+q^{n}=\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

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