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Terminale

moyenExercice corrigé

[Bac] Probabilités - Suites

Extrait d'un exercice du Bac S Pondichéry 2013.
Le sujet complet est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013

Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

  • Un salarié malade est absent
  • La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
  • Si la semaine n le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0,04.
  • Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0,24.

On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par E_{n} l'évènement "le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine". On note p_{n} la probabilité de l'évènement E_{n}.
On a ainsi : p_{1}=0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0\leqslant p_{n} < 1.

    1. Déterminer la valeur de p_{3} à l'aide d'un arbre de probabilité.
    2. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
    1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
    2. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,
      p_{n+1}=0,2p_{n}+0,04.
    3. Montrer que la suite \left(u_{n}\right) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par u_{n}=p_{n}-0,05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison r.
      En déduire l'expression de u_{n} puis de p_{n} en fonction de n et r.
    4. En déduire la limite de la suite \left(p_{n}\right).
    5. On admet dans cette question que la suite \left(p_{n}\right) est croissante. On considère l'algorithme suivant :
      Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel
      Initialisation P prend la valeur 0
      J prend la valeur 1
      Entrée Saisir la valeur de K
      Traitement Tant que P < 0,05-10^{- K}
      ...P prend la valeur 0,2\times P+0,04
      ...J prend la valeur J + 1
      Fin tant que
      Sortie Afficher J

      A quoi correspond l'affichage final J ?
      Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?

Corrigé


    1. p_{3}=p\left(E_{3}\right)=0,04\times 0,24+0,96\times 0,04=0,048
    2. On recherche p_{E_{3}}\left(E_{2}\right)
      p_{E_{3}}\left(E_{2}\right)=\frac{p\left(E_{2} \cap E_{3}\right)}{p\left(E_{3}\right)}=\frac{0,04\times 0,24}{0,048}=0,2
    1. D'après la formule des probabilités totales :
      p_{n+1}=p\left(E_{n+1}\right)=0,24p_{n}+0,04\left(1-p_{n}\right)=0,2p_{n}+0,04
    2. u_{n+1}=p_{n+1}-0,05=0,2p_{n}+0,04-0,05=0,2\left(u_{n}+0,05\right)-0,01=0,2u_{n}
      Donc la suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison q=0,2. Son premier terme est u_{1}=p_{1}-0,05=-0,05.
      On a donc :
      u_{n}=u_1\ q^{n-1}=-0,05\times 0,2^{n-1}
      et :
      p_{n}=-0,05\times 0,2^{n-1}+0,05
    3. Comme -1 < 0,2 < 1, \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }0,2^{n-1}=0 et donc \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }p_{n}=0,05
    4. Le nombre J affiché est le rang à partir duquel p_{J}\geqslant 0,05-10^{- \text{K}}.
      L'algorithme se termine toujours car la suite p_{n} est croissante et \lim\limits_{n\rightarrow \infty }p_{n}=0,05, donc, quelque soit K on trouvera toujours un rang J tel que p_{J}\geqslant 0,05-10^{- \text{K}}
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