Exercice corrigéExtrait d’un exercice du Bac S Pondichéry 2013.
Le sujet complet est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013
Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.
- Un salarié malade est absent
- La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
- Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0,04.
- Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0,24.
On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par E_{n} l’évènement « le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine ». On note p_{n} la probabilité de l’évènement E_{n}.
On a ainsi : p_{1}=0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0\leqslant p_{n} < 1.
- Déterminer la valeur de p_{3} à l’aide d’un arbre de probabilité.
- Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
- Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous
- Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,
p_{n+1}=0,2p_{n}+0,04. - Montrer que la suite \left(u_{n}\right) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par u_{n}=p_{n}-0,05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison r.
En déduire l’expression de u_{n} puis de p_{n} en fonction de n et r. - En déduire la limite de la suite \left(p_{n}\right).
- On admet dans cette question que la suite \left(p_{n}\right) est croissante. On considère l’algorithme suivant :
Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel Initialisation P prend la valeur 0 J prend la valeur 1 Entrée Saisir la valeur de K Traitement Tant que P < 0,05-10^{- K} …P prend la valeur 0,2\times P+0,04 …J prend la valeur J + 1 Fin tant que Sortie Afficher J A quoi correspond l’affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
- Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous
Corrigé
p_{3}=p\left(E_{3}\right)=0,04\times 0,24+0,96\times 0,04=0,048- On recherche p_{E_{3}}\left(E_{2}\right)
p_{E_{3}}\left(E_{2}\right)=\frac{p\left(E_{2} \cap E_{3}\right)}{p\left(E_{3}\right)}=\frac{0,04\times 0,24}{0,048}=0,2
- D’après la formule des probabilités totales :
p_{n+1}=p\left(E_{n+1}\right)=0,24p_{n}+0,04\left(1-p_{n}\right)=0,2p_{n}+0,04 - u_{n+1}=p_{n+1}-0,05=0,2p_{n}+0,04-0,05=0,2\left(u_{n}+0,05\right)-0,01=0,2u_{n}
Donc la suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison q=0,2. Son premier terme est u_{1}=p_{1}-0,05=-0,05.
On a donc :
u_{n}=u_1\ q^{n-1}=-0,05\times 0,2^{n-1}
et :
p_{n}=-0,05\times 0,2^{n-1}+0,05 - Comme -1 < 0,2 < 1, \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }0,2^{n-1}=0 et donc \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }p_{n}=0,05
- Le nombre J affiché est le rang à partir duquel p_{J}\geqslant 0,05-10^{- \text{K}}.
L’algorithme se termine toujours car la suite p_{n} est croissante et \lim\limits_{n\rightarrow \infty }p_{n}=0,05, donc, quelque soit K on trouvera toujours un rang J tel que p_{J}\geqslant 0,05-10^{- \text{K}}
