À partir des données de l'énoncé, on peut compléter l'arbre pondéré de la manière suivante :

D'après la formule des probabilités conditionnelles, la probabilité qu'un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques » est :

$P( R \cap T ) =P( R ) \times P_{ R }( T )$
$\phantom{P( R \cap T ) }=0,6 \times 0,7=0,42$

D'après la formule des probabilités totales, la probabilité que le client ait souscrit un contrat « Tous risques » est égale à :

$P( T )=P( R ) \times P_{ R }( T )+P( \overline{ R } ) \times P_{ \overline{ R } }$
$\phantom{P( T )}=0,6 \times 0,7+0,4 \times 0,5=0,62$

La variable aléatoire $X$ peut prendre 2 valeurs :

• $X=500$ si le client a choisi le contrat « Tous risques » ;

• $X=400$ si et seulement si le client n'a pas choisi ce contrat.

D'après la question précédente :
$P( X=500 )=P( T )=0,62$

Et :
$P( X=400 )=P( \overline{ T } )=1 - 0,62=0,38.$

Enfin, l'espérance mathématique de $X$ est :
$E( X )=500 \times 0,62+400 \times 0,38=462.$

Ce résultat peut s'interpréter de la façon suivante : La compagnie d'assurance touchera, en moyenne, 462 € par contrat souscrit.