Probabilités - Bac S Métropole 2013

Exercice 1   4 points

Commun à tous les candidats
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs: 35% des plants proviennent de l'horticulteur H_{1}, 25% de l'horticulteur H_{2} et le reste de l'horticulteur H_{3}. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l'horticulteur H_{1} comporte 80% de conifères alors que celle de l'horticulteur H_{2} n'en comporte que 50% et celle de l'horticulteur H_{3} seulement 30%.

1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
   On envisage les événements suivants :
   ♦  H_{1} : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H_{1}»,
   ♦  H_{2} : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H_{2}»,
   ♦  H_{3} : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H_{3}»,
   ♦  C : « l'arbre choisi est un conifère»,
   ♦  F : « l'arbre choisi est un arbre feuillu».
   1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
   2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H_{3}.
   3. Justifier que la probabilité de l'évènement C est égale à 0,525.
   4. L'arbre choisi est un conifère.
      Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H_{1} ? On arrondira à 10^{-3}.
2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.
   On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
   1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères?
      On arrondira à 10^{-3}.
   3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
      On arrondira à 10^{-3}.