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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités - Bac S Asie 2013

Exercice 1   5 points

Commun à tous les candidats Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20% chez le fournisseur B.

10% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.

On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

  1. Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré.

    1. Quelle est la probabilité de l'évènement BSB \cap \overline{S} ?

    2. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0,880,88

  2. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.

    Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?

Partie B

Le gérant d'un salon de thé achète 1010 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 1010 boîtes avec remise.

On considère la variable aléatoire XX qui associe à ce prélèvement de 1010 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

  1. Justifier que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.

  3. Calculer la probabilité qu'au moins 88 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.

Partie C

À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes: «88% de notre thé est garanti sans trace de pesticides».

Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l'affirmation. À cette fin, il prélève 5050 boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve 1212 avec des traces de pesticides.

On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à 0,880,88.

On note FF la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 5050 boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

  1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire FF au seuil de 95%.

  2. L'inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95%, que la publicité est mensongère